Kniha: Základy náhodných procesů II - Zuzana Prášková

Obsah

Předmluva..................................................................................................................... 7

Seznam použitých symbolů........................................................................................ 8

1 Základní pojmy 9

1.1 Definice a základní charakteristiky náhodného procesu ............................ 9

1.1.1 Striktní a slabá stacionarita............................................................... 11

1.1.2 Vlastnosti autokovarianční funkce...................................................... 12

1.2 Některé důležité třídy náhodných procesů ................................................... 15

1.2.1 Markovovy procesy............................................................................... 15

1.2.2 Procesy s nezávislými p řírů stk y ......................................................... 16

1.2.3 Martingaly ............................................................................................ 17

1.3 Cvičení a doplňky............................................................................................... 17

2 Procesy s konečnými druhými momenty 21

2.1 Hilbertův p ro sto r............................................................................................... 21

2.2 Prostor L2 (fi,A, P) ............................................................................................ 22

2.3 Procesy se spojitým časem v Ь2(12,Л, P) ...................................................... 25

2.3.1 Spojitost procesu.................................................................................. 25

2.3.2 Derivace p ro c e su .................................................................................. 26

2.3.3 Riemannův integrál............................................................................... 28

2.4 Cvičení a doplňky............................................................................................... 29

3 Spektrální rozklad autokovarianční funkce 31

3.1 Pomocná tv rz e n í............................................................................................... 31

3.2 Spektrální rozklad autokovarianční funkce ................................................... 32

3.3 Existence a výpočet spektrální h u sto ty ......................................................... 35

3.4 Cvičení a doplňky............................................................................................... 39

4 Spektrální rozklad náhodného procesu 41

4.1 Procesy s ortogonálními přírůstky .................................................................. 41

4.2 Integrál podle procesu s ortogonálními přírůstky ......................................... 42

4.3 Spektrální rozklad stacionárních p ro cesů ...................................................... 47

4.4 Cvičení a doplňky............................................................................................. 53

5 Lineární modely časových řad 55

5.1 Posloupnosti klouzavých so u č tů .................................................................... 55

5.2 Lineární p ro c e s................................................................................................ 58

5.3 Autoregresní posloupnosti............................................................................. 62

5.4 Posloupnosti A R M A ...................................................................................... 71

5.5 Lineární filtry .................................................................................................. 76

5.6 Cvičení a doplňky............................................................................................ 78

6 Vybrané limitní věty 81

6.1 Zákony velkých čísel ...................................................................................... 81

6.2 Centrální limitní v ěty ...................................................................................... 86

6.3 Cvičení a doplňky............................................................................................. 95

7 Predikce 97

7.1 Predikce v časové d o m én ě............................................................................. 97

7.1.1 Projekce v Hilbertově prostoru ....................................................... 97

7.1.2 Predikce založená na konečné minulosti........................................... 99

7.1.3 Rekurzivní postupy pro predikci...........................................................103

7.1.4 Predikce založená na nekonečné minulosti .....................................111

7.2 Predikce ve spektrální doméně.......................................................................... 114

7.3 Cvičení a doplňky................................................................................................119

8 Filtrace signálu a šumu 123

8.1 Filtrace v konečné stacionární posloupnosti.....................................................123

8.2 Filtrace v nekonečné stacionární posloupnosti .............................................. 124

8.3 Cvičení a doplňky................................................................................................129

9 Odhady průměru a autokorelační funkce 131

9.1 Odhad prům ěru................................................................................................... 131

9.2 Odhady autokovarianční a autokorelační fu n k ce ........................................... 132

9.3 Parciální autokorelační funkce.......................................................................... 135

9.4 Cvičení a doplňky................................................................................................142

10 Odhady parametrů v modelech ARMA 145

10.1 Odhady parametrů v modelech A R .................................................................145

10.2 Odhady parametrů v modelech MA a ARMA ............................................... 149

10.3 Maximálně věrohodné odhady..........................................................................152

10.4 Cvičení a doplňky............................................................................................... 155

11 Periodogram a odhady spektrální hustoty 157

11.1 Periodogram........................................................................................................157

11.2 Odhady spektrální hustoty................................................................................163

Literatura 167