načítání...
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

Smysl relativity - Albert Einstein

Elektronická kniha: Smysl relativity
Autor:

Zásadní dílo slavného fyzika poprvé v češtině Koncem roku 2015 uplyne 100 let od chvíle, kdy Albert Einstein publikoval své rovnice gravitačního pole a položil tak základ obecné teorii ...


Titul je skladem - ke stažení ihned
Vaše cena s DPH:  144
Médium: e-kniha
+
-
ks
Doporučená cena:  180 Kč
20%
naše sleva
4,8
bo za nákup

ukázka z knihy ukázka

Titul je dostupný ve formě:
elektronická forma tištěná forma

hodnoceni - 59.3%hodnoceni - 59.3%hodnoceni - 59.3%hodnoceni - 59.3%hodnoceni - 59.3% 60%   celkové hodnocení
4 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: VYŠEHRAD
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF, EPUB, MOBI
Počet stran: 164
Rozměr: 21 cm
Úprava: tran
Vydání: Vydání první
Spolupracovali: z anglického originálu, The meaning of relativity: including the relativistic theory of the non-symmetric field ... přeložil a doslovem opatřil Jan Novotný
Jazyk: česky
Médium: e-book
ADOBE DRM: bez
Epub velikost (MB): 3
PDF velikost (MB): 4.9
MOBI velikost (MB): 3
ISBN: 978-80-7429-537-9
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis

Zásadní dílo slavného fyzika poprvé v češtině
Koncem roku 2015 uplyne 100 let od chvíle, kdy Albert Einstein publikoval své rovnice gravitačního pole a položil tak základ obecné teorii relativity, kterou podrobněji vyložil v následujícím roce a která se dodnes pokládá za nejuspokojivější teorii makrosvěta a vesmíru.
Jakýmsi Einsteinovým odkazem je především dílo The Meaning of Relativity, které poprvé vydala Princetonská univerzita roku 1921 a jež nyní prvně vychází také česky. Jde o zpracování čtyř přednášek, které Einstein v Princetonu proslovil a jež v dalších vydáních rozšiřoval o nové poznatky – v roce 1945 to byl text O kosmologickém problému, v roce 1953 Zobecnění teorie gravitace a v roce 1955 Relativistická teorie nesymetrického pole, což je poslední Einsteinova práce publikovaná ještě za jeho života. V základním textu a v kosmologickém dodatku Einstein vykládá klíčové myšlenky a výsledky svých teorií. Používá přitom matematiky v poněkud náročnější podobě než ve dříve zmíněných svých knihách, dá se říci, že jde o ucelený výklad teorie relativity v podobě, jak ji chápal sám Einstein. Zbývající dodatky ukazují, co bylo hlavním Einsteinovým zájmem po zbytek života. Kniha jako celek umožňuje nahlédnout do Einsteinovy filozofie a pochopit důvody, proč se odchýlil od hlavního proudu fyziky.

Předmětná hesla
Zařazeno v kategoriích
Albert Einstein - další tituly autora:
Smysl relativity Smysl relativity
Einstein, Albert
Cena: 214 Kč
Smysl relativity Smysl relativity
Einstein, Albert
Cena: 144 Kč
 
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky











Albert einstein
sMYsl relAtiVitY





Vyšehrad
Albert
einstein
sMYsl
relAtiVitY





Tato kniha vydaná původně roku 1922 podává text Stafford Little
Lectures, které dr. einstein přednesl roku 1921 na Princetonské univerzitě.
Pro třetí vydání dr. einstein připojil dodatek diskutující jisté pokroky
v teorii relativity od roku 1921. Pro čtvrté vydání dr. einstein připojil
dodatek II o své zobecněné teorii gravitace. V pátém vydání byl revidován
důkaz z dodatku II. Toto vydání je identické s pátým vydáním v Princeton
University Press.
Text prvního vydání přeložil do angličtiny erwin Plimpton adams,
první dodatek přeložil ernst G. Strauss a druhý dodatek přeložila
Sonja Bargmannová.





Z anglického originálu, The Meaning of relativity: Including the relativistic
Theory of the Non‑Symmetric Field (fifth edition), vydaného roku 2014
nakladatelstvím Princeton University Press,
přeložil a doslovem opatřil Jan Novotný
Obálku a grafickou úpravu navrhl Vladimír Verner
redakčně zpracoval Vladimír roskovec
Odpovědný redaktor Martin Žemla
e‑knihu vydalo nakladatelství Vyšehrad, spol. s r. o.,
v Praze roku 2016 jako svou 1447. publikaci
Vydání v elektronickém formátu první
(podle prvního vydání v tištěné podobě)
doporučená cena e‑knihy 180 Kč

Nakladatelství Vyšehrad, spol. s r. o.,
Praha 3, Víta Nejedlého 15
e‑mail: info@ivysehrad.cz
www.ivysehrad.cz
albert einstein
The Meaning of relativity: Including the relativistic Theory
of the Non ‑Symmetric Field (fifth edition)
all rights reserved. No part of this book may be reproduced
or transmitted in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording
or by any information storage and retrieval system,
without permission in writing from the Publisher.
Copyright © 1922, 1945, 1950, 1953 by Princeton University Press
Copyright © 1956 by the estate of albert einstein
Copyright renewed 1984 by the hebrew University of Jerusalem
Introduction © 2005 by Brian Greene
Translation © Jan Novotný, 2016
epilogue © Jan Novotný, 2016
ISBN 978‑ 80‑7429‑593‑5
Tištěnou knihu si můžete zakoupit na www.ivysehrad.cz





7
ÚVOD
[ Brian Greene ]
Během jediného desetiletí Albert Einstein objevil speciální a poté obecnou
teorii relativity a převrátil tím pojmy prostoru a času, kterých se lidé drželi
po tisíce let. Přesto se mnozí z nás, přinejmenším intuitivně, stále
přiklánějí k těmto vyvráceným pojmům. Prostor si představujeme jako netečné
jeviště, na němž se odehrávají vesmírné události. O čase si představujeme,
že je zaznamenáván univerzálními hodinami, které tikají stejně zde jako
na Marsu či v galaxii Andromedy a kdekoliv jinde, bez ohledu na
rozličná prostředí a fyzikální souvislosti. Pro většinu z nás neměnná věčnost
prostoru a času patří mezi nejzákladnější vlastnosti reality. Držet se však
takovýchto představ znamená držet se předeinsteinovského pohledu, který
je nejen teoreticky neudržitelný, ale jak ukázaly četné experimenty, také
prokazatelně mylný.
Pro profesionálního fyzika je snadné přivyknout relativitě. Ačkoliv
relativistické rovnice byly nejprve udivujícími výroky vyjádřenými v jazyce
matematiky, fyzikové dnes vpisují relativitu přímo do matematické
mluvnice základní fyziky. V tomto rámci náležitě formulované matematické
rovnice automaticky plně odpovídají relativitě, a kdo si tedy dobře osvojí
několik matematických pravidel, je schopen bez překážek se orientovat
v Einsteinových objevech. Ale přestože je relativita matematicky
systemizována, drtivá většina fyziků by stále přiznala, že jim „nepřešla do krve“.
I já si uvědomuji, jak snadné je upadnout do navyklého newtonovského
myšlení, v němž jsou prostor a čas nesprávně nazírány jako vzájemně
oddělené, nezávislé a neměnné. Ale zároveň jsem schopen zakoušet
nezmenšující se obdiv, který pociťuji pokaždé, když si dostatečně povšimnu detailů
skrytých v matematice přizpůsobené relativistické úspornosti a stanu tak
tváří v tvář pravému smyslu relativity. Prostor a čas tvoří podloží reality.
Důsledkem zemětřesení, které na této půdě vyvolala teorie relativity, není
nic menšího než zdokonalení našeho základního chápání reality.
Co tedy relativita říká?





8
V roce 1905 Einstein publikoval v německém časopise Annalen der
Physik pod skromným titulem „K elektrodynamice pohybujících se těles“
to, čemu dnes říkáme speciální teorie relativity. Článek vyrůstá z
intelektuálního zápasu, který sváděl od svých šestnácti let s matematickým popisem
pohybu světla, jak jej objevil v šedesátých letech 19. století James Clerk
Maxwell. Stručně řečeno, v rozporu s tím, co bychom očekávali na základě
Newtonových rovnic (a zdravého rozumu), Maxwellovy rovnice (jsou-li
správně vyloženy) ukazují, že ať se paprsku světla ženete vstříc, nebo před
ním prcháte, jeho rychlost vzhledem k vám bude stále stejná, jako kdybyste
stáli − ani o kousíček větší či menší. Tato těžko zpochybnitelná konstantnost
rychlosti světla vzrušovala na konci devatenáctého a na počátku dvacátého
století ty nejpronikavější vědecké duchy, protože sice vycházela z rovnic
a byla potvrzována stále přesnějšími měřeními, ale přesto se zdálo, že to
nedává smysl. Jak by se světlo nemělo vůči nám pohybovat rychleji, když
mu běžíme vstříc a světelný paprsek nás potkává? Jak by se světlo vůči
nám nemělo pohybovat pomaleji, když před ním utíkáme? V této záležitosti
Einstein všechno změnil. Rychlost je podílem prošlé vzdálenosti a doby,
po kterou se daná vzdálenost prochází, a je tak intimně vázáná k pojmům
prostoru a času. A jak hlásal Einstein, prostor a čas nejsou – v kontrastu
k Newtonovu intuitivně rozumnému popisu – fixní a neměnné. Jsou naopak
fluidní a tvárné. Prostor a čas se proměňují, aby udržely jako fixní a věčné
něco jiného než sebe samy – rychlost světla, která nezávisí na tom, jak se
pohybuje zdroj světla nebo jeho pozorovatel.
Fakticky to znamená, že když měříte délku objektu – ať je to auto,
letadlo či cokoliv jiného – za pohybu, výsledek, který dostanete, je menší než
v případě, že se objekt nepohybuje. A pozorujete-li pohybující se hodiny,
zjistíte, že tikají v pomalejším tempu než stejné hodiny v klidu. Prostě
řečeno, pro pohybující se objekt se prostorové vzdálenosti zkracují a čas
se zpomaluje. Tyto podivuhodné vlastnosti prostoru a času zůstávaly
do roku 1905 zcela skryty, protože byť jsou jejich projevy reálné, zůstávají
nepatrné, dokud se uvažované rychlosti neblíží rychlosti světla. Bylo třeba
génia, jakým byl Einstein, aby nahlédl za každodenní zkušenost a odhalil
skutečnou povahu prostoru a času.
Objev obecné relativity vyrůstá ze speciální relativity, ale Einsteinovi
trvalo dalších deset let, než jej dovršil. Hlavním popudem byl pro něho opět
nápadný konflikt, na který narazil, když důkladně zkoumal některé z
Newtonových dřívějších závěrů. V tomto případě byla v ohnisku jeho zájmu





9
gravitační síla, zvláště pak otázka, jak rychle se vliv gravitace šíří. Podle
speciální teorie relativity se nic – žádný objekt, žádný signál, žádná infor -
mace – nemůže pohybovat z jednoho místa ve vesmíru na jiné místo větší
rychlostí, než je rychlost světla. Ale jak si uvědomil Einstein, podle
Newtonova zákona všeobecné gravitace masivní těleso, jako je Slunce, působí
gravitační přitažlivostí na jiná tělesa, jako jsou planety, a to okamžitě.
Podle Newtona platí, že kdyby Slunce nějak změnilo svou hmotnost nebo
polohu, mohli bychom o změně okamžitě vědět, protože by se okamžitě
změnilo gravitační působení Slunce na Zemi. A tato bezprostřední změna
by přišla mnohem dříve, než dovoluje omezení dané nepřekročitelností
rychlosti světla. Einsteinova motivace pro hledání nové teorie gravitace
tedy nepovstala z konfliktu mezi Newtonovými rovnicemi a
experimentálními daty, ale z konfliktu mezi Newtonovým popisem gravitace a
Einsteinovou speciální teorií relativity. Pro teoretika, jakým byl Einstein, může
být teoretická nekonzistence neméně významná nežli nesoulad vyvozený
z experimentu a pozorování.
Řešení tohoto konfliktu nepřišlo hned. Roku 1912, asi po pěti letech
přemýšlení, Einstein napsal svému příteli Arnoldu Sommerfeldovi, že
„ve srovnání s pochopením gravitace byla speciální teorie relativity jen
dětská hra“. Nicméně Einstein se do toho rozhodně pustil. Jeho cílem
bylo pochopit mechanismus, jímž gravitace působí – především jak to
150 milionů kilometrů vzdálené Slunce dělá, aby ovlivnilo pohyb Země.
Slunce se Země nikdy nedotýká, jak tedy síla, kterou nazýváme gravitací,
komunikuje přes tak obrovské vzdálenosti v téměř prázdném prostoru? To
je záhada, které si byl dobře vědom i Newton, když ve svých Principiích
poznamenal, že není schopen stanovit způsob, jímž je gravitační působení
přenášeno, a tudíž mu nezbývá než ponechat problém „na uvážení čtenáři“.
Mnozí čtenáři tuto výzvu bezpochyby jen četli a četli, ale Einstein k tomu
přistoupil jinak. Rozhodl se přijmout tuto dvě stě let starou výzvu v naději,
že když pochopí, jak gravitace skutečně pracuje, bude moci rozřešit
konflikt mezi Newtonovým popisem gravitace a omezením rychlosti, jež klade
speciální teorie relativity.
Einsteinovy naděje se ukázaly být dobře podloženy. Roku 1915 přišel
s obecnou teorií relativity, v níž určil pravou povahu prostoročasu jako
prostředí, které přenáší gravitační sílu. Einstein se domníval, že jako těžký
kámen ležící na trampolíně způsobuje, že blána se zakřiví – a ovlivňuje
tím pohyb kuliček valících se po povrchu blány –, tak i velká astronomická





10
tělesa jako Slunce, Země či neutronová hvězda vloženy do prostoročasu
způsobují, že vesmír se zakřivuje – a takto ovlivňují pohyby dalších těles
ve své blízkosti. Když Země obíhá kolem Slunce, pak se podle obecné
teorie relativity valí údolím v deformovaném prostoročasovém podkladu,
který vytvořila přítomnost Slunce.
To je ohromující závěr. Ve speciální teorii relativity Einstein ukázal, že
kosmické lešení nemůže být demontováno do podoby tuhé, univerzálně
určené mříže v prostoru a v čase. Nyní v obecné teorii relativity pravil, že
stavba kosmického lešení reaguje na přítomnost hmoty či energie a naopak
stavba prostoročasu ovlivňuje pohyb objektů. Podle Einsteina se prostor
a čas podílejí na vývoji vesmíru.
Závěr, který tak dramaticky změnil předcházející koncepce, si žádá
dramatickou experimentální podporu. Prostřednictvím své matematické
formulace, za kterou velmi vděčí prozíravým geometrickým myšlenkám
Bernharda Riemanna z devatenáctého století, dává obecná teorie relativity
přesné předpovědi, jak se objekty pohybují pod vlivem gravitační síly (tj.
jak zakřivení prostoročasu ovlivňuje pohyb objektů). Porovnáme-li tyto
předpovědi s předpověďmi Newtonovy teorie gravitace na základě
experimentů a pozorování, Einsteinovy předpovědi se vždy ukáží
přinejmenším o trochu přesnější, čímž se opravňuje nárok obecné teorie relativity
na nástupnictví po Newtonově teorii. Prvořadě důležité pak je, že když
Einstein vypočítal rychlost, jíž se deformace a zakřivení šíří prostorem –
v jeho nové formulaci tedy rychlost gravitace –, byl výsledek neobyčejně
potěšující. Na rozdíl od Newtonovy teorie, v níž se předpokládá, že
gravitace se šíří okamžitě do jakékoliv vzdálenosti, v obecné teorii relativity se
pohybuje právě rychlostí světla v plném souladu se základním
požadavkem speciální teorie relativity, aby světlo nemohlo být ničím předstiženo.
Einstein publikoval obecnou teorii relativity roku 1916, což byl patrně
pro naše pochopení prostoru a času ten vůbec nejdůležitější rok. V rámci
obecné teorie relativity je speciální teorie nazírána jako zvláštní případ
– uvažujeme v ní prostor a čas v nepřítomnosti podkládajícího rozložení
hmoty a energie, jde tedy o prostor a čas v nepřítomnosti gravitace.
Připojení gravitace, které Einstein objevil, vdechlo prostoročasu celou jeho
neočekávanou tekutost a pružnost.
* * *





11
Během století od objevu relativity byl Einsteinův průlomový krok lépe
pochopen a jeho důsledky pro poznání vesmíru byly plněji rozpoznány.
Zde je pět vrcholů.
Za prvé se mnoho odehrálo na poli experimentů. Počáteční
experimentální testy relativity byly poněkud nepřímé. Potvrzení obecnou teorií
relativity předvídaného ohybu světla hvězd procházejícího v blízkosti Slunce,
podané dvěma skupinami astronomů během zatmění slunce roku 1919, je
právem považováno za pozorování, jež přesvědčilo svět o správnosti
Einsteinovy nové teorie. Avšak bizarní předpovědi teorie relativity, že pohyb
a gravitace mohou ovlivnit tempo běhu času, dlouho vzdorovaly přímému
potvrzení. Pozorovaná skutečnost, že miony, částice s krátkou dobou
života, které vznikají v horních vrstvách atmosféry srážkami s kosmickým
zářením, jsou schopny přežít dlouhou cestu k zemskému povrchu (když
se miony pohybují rychle, jejich vnitřní hodiny se vůči našim hodinám
zpožďují, a proto takové miony žijí déle než jejich nehybné exempláře,
což jim dovoluje cestu k povrchu Země dokončit), je krokem k přímějšímu
potvrzení, ale kontrast mezi miliontinou sekundy života mionu a časovými
intervaly, které zakoušíme v každodenním životě, může toto potvrzení stále
činit odtažitým a ryze teoretickým. Experiment, který v roce 1971 provedli
Joseph Hafele a Richard Keating, znamenal velký krok k překlenutí této
mezery. Položili hodiny (ovšem atomové) na sedadlo v letadle společnosti
Pan American a soustavně monitorovali jejich údaje během obletu kolem
zeměkoule. Protože letadlo se pohybovalo a vzhledem k rostoucí
vzdálenosti od středu Země se dostávalo do poněkud slabšího gravitačního pole,
údaje hodin na palubě se měly lišit od hodin umístěných na zemském
povrchu o několik miliardtin sekundy. A právě to experimentátoři zjistili
a poskytli tak přímé potvrzení relativistického závěru, že běh času –
skutečného času měřeného hodinami – je ovlivněn pohybem a gravitací.
Za druhé se také stále provádějí nové experimenty testující některé
subtilnější důsledky relativity. Gravity Probe B, družice létající stovky
kilometrů nad zemským povrchem, se snažila získat první přímé potvrzení
relativistické předpovědi, že masivní těleso nejenom deformuje stavbu
prostoročasu, ale pokud rotuje, vytváří v něm cosi jako vír. Po zaměření
těch nejpreciznějších gyroskopů, jaké kdy byly vyrobeny, na zvolenou
vzdálenou hvězdu, experimentátoři doufali, že se jim podaří potvrdit
relativistickou předpověď, podle níž strhávání prostoročasu zemskou rotací
stočí během roku osy palubních gyroskopů o stotisícinu stupně. Změření





12
tak nepatrného úhlu otočení je těžký úkol, ale po asi čtyřiceti letech vývoje
experimentátoři věří, že to se svou technikou dokáží. Další nesnadný, ale
nesmírně vzrušující experiment je hledání gravitačních vln. Obecná teorie
relativity říká, že když se masivní objekt pohybuje, může způsobit
rozvlnění prostoru, asi jako se rozvlní hladina rybníka, když do něho hodíme
kamínek. Když taková vlna rozvlněného prostoru dorazí k Zemi, všechny
hmotné objekty se budou při průchodu vlny deformující prostor natahovat
v proměnlivém směru. Potíž se zachycením těchto gravitačních vln spočívá
v tom, že když jsou vytvářeny běžnými jevy (rozbití šálku, srážka aut,
odpálení výbušniny atd.), jsou příliš nepatrné, než aby mohly být postřehnuty,
zatímco když je produkují katastrofické astrofyzikální události (přeměna
hvězdy v supernovu, srážka černých děr atd.), jsou sice velké, ale na své
dlouhé cestě k Zemi rychle slábnou. Vědci užívají obecné teorie relativity
k výpočtu, že gravitační vlny vytvořené nejintenzivnějšími
astrofyzikálními událostmi v typicky astronomických vzdálenostech by mohly
změnit metrové tyče o miliontinu miliardtiny centimetru, což je mimořádně
obtížné detekovat. Přesto jsou dnes ve Spojených státech v provozu dva
detektory gravitačních vln (a ve světě je plánováno nebo pracuje mnoho
dalších), které by aspoň v principu byly schopny změřit tak nepatrnou
deformaci hmoty. Tento experiment je mimořádně důležitý hlavně proto, že
úspěšná detekce gravitační vlny by znamenala více než jen potvrzení další
předpovědi obecné relativity. Vzhledem k podstatné slabosti gravitační
síly mohou gravitační vlny pronikat oblastmi, které jsou neprůhledné pro
viditelné světlo a obecněji pro elektromagnetické záření. Proto by detekce
gravitačních vln mohla velmi dobře otevřít novou oblast astronomie, v níž
by se vesmír studoval pomocí gravitačního – a nikoliv
elektromagnetického – záření. Někteří fyzikové dokonce doufají, že gravitační vlny mohou
jednou posloužit k průhledu k samotnému velkému třesku.
Třetí výdobytek se opírá o práci Karla Schwarzschilda, německého
fyzika, který krátce po Einsteinově publikaci obecné teorie relativity
představil řešení Einsteinových rovnic s pozoruhodnými důsledky.
Schwarzschild zjistil, že když se do dostatečně malého objemu napěchuje
dostatečné množství hmoty (když se např. celá Země stlačí do balonu o průměru
jeden centimetr), bude výsledné zdeformování prostoročasu tak silné, že
nic – dokonce ani světlo – nebude schopno odolat výslednému mocnému
gravitačnímu přitahování. Einsteina toto řešení překvapilo a domníval se,
že extrémní podmínky předvídané Schwarzschildem nebudou v reálném





13
světě nikdy splněny. Dnes však pozorování užívající mocných pozemských
i kosmických dalekohledů odhalují oblasti prostoupené intenzivními gra -
vitačními poli, kde po spirálách dovnitř padající hmota vyzařuje a vydává
spektrum rentgenového záření, které přesně odpovídá tomu, co se očekává
od hmoty těsně před přechodem přes hranici některé ze
Schwarzschildových „temných hvězd“ (později jim vynikající fyzik John Wheeler dal
název „černé díry“). Tyto údaje téměř nedovolují pochybovat o tom, že
černé díry jsou reálné, a snad dokonce všudypřítomné. Astronomové se
dnes domnívají, že mnohé galaxie mají ve svých centrech gigantické černé
díry. Pozorování například svědčí o tom, že v jádře naší vlastní galaxie
Mléčné dráhy je černá díra o hmotnosti více než třímilionkrát větší, než
jakou má Slunce. Důležitým problémem, který odolává řešení už více než
dvacet pět let, je určení, co se děje v hlubokém nitru černé díry. Obecná
teorie relativity jako by napovídala, že uprostřed černé díry končí čas, ale
nikdo dosud nestanovil, co to skutečně znamená anebo zda by tento závěr
mohly potvrdit úvahy založené na kvantové mechanice. Kdybychom si
poradili s tímto problémem, byl by to hluboký průhled do základní povahy
prostoru a času.
Za čtvrté je gravitace dominantní, když uvažujeme o velkých
aglomeracích hmoty, jakými jsou hvězdy a galaxie. Největší možnou arénou pro
uplatnění obecné teorie relativity je největší aglomerace, o jaké lze
uvažovat: celek samotného vesmíru. Studium počátku a vývoje vesmíru se nazývá
kosmologie a nepřekvapuje, že na tomto poli znamenala obecná teorie
relativity revoluci. Před rokem 1916 nebyla nouze o kosmologie navrhované
různými světovými teology a přírodními filosofy. S objevem obecné teorie
relativity však kosmologie vstoupila do říše přísné vědy. Během pouhých
několika roků se Einstein přesvědčil, že kosmologie založená na obecné
relativitě je velice neočekávaná. Stavba prostoru založená na obecné teorii
relativity nemůže být statická: vesmír se může rozpínat anebo smršťovat,
ale nemůže zůstat nehybný. Dokonce i tak samorostlý myslitel, jakým byl
Einstein, považoval tento závěr za příliš bizarní, než aby byl ochoten jej
přijmout. Vesmír v největším měřítku „samozřejmě“ měl být fixní a neměnný.
Aby se vyhnul problematickému důsledku obecné relativity, Einstein roku
1917 pozměnil své rovnice zavedením tzv. kosmologické konstanty –
energie rovnoměrně rozložené v prostoru, která mohla působit odpuzování a tak
nastolit rovnováhu s gravitační přitažlivostí a umožnit statický vesmír.
Někteří z Einsteinových současníků – zejména belgický kněz Georges





14
Lemaitre a ruský matematik a meteorolog Alexandr Friedmann – si nebyli
tak jisti, že vesmír se opravdu nemění, a tak ve dvacátých letech vytvořili
řadu možných kosmologií vycházejících z rovnic obecné relativity, a to jak
s kosmologickou konstantou, tak i bez ní. Všechny tyto kosmologie byly
k dispozici v roce pro kosmologii přelomovém – 1929. V tomto roce Edwin
Hubble, který užíval 100palcového dalekohledu observatoře na Mount
Wilson, došel k závěru, že daleké galaxie se od nás vzdalují rychlostí úměrnou
jejich vzdálenosti, což je v naprostém souladu s obecně relativistickými
kosmologiemi, jak je matematicky vypracovali Lemaitre a Friedmann.
Prostor se s časem nadouvá. Kdyby se Einstein odhodlal přijmout tento
závěr své vlastní teorie relativity, mohl předpovědět rozpínání vesmíru
o dvanáct let dříve, než bylo pozorováno. Dnes je kosmologie stále jednou
z nejaktivnějších oblastí teoretických a pozorovatelských výzkumů, jemněji
propracované verze Lemaitrova a Friedmannova díla se rozvíjejí po celém
světě a všechno je to založeno na rovnicích obecné teorie relativity. Takové
výzkumy vedly k závěru, který mnozí fyzici považují za nejvýznamnější
překvapení poslední dekády. A to je pátý vrchol.
Díky Hubbleovým pozorováním a mnoha navazujícím výzkumům,
které potvrdily jeho závěry, se společenství fyziků přesvědčilo, že vesmír
se rozpíná. Ale protože gravitace je přitažlivá síla – síla, která stahuje
věci k sobě –, téměř každý byl také přesvědčen, že gravitační přitažlivost
má za následek zpomalování expanze v čase. Zajímavým problémem pro
výzkum pak bylo, jak určit rychlost zpomalování expanze, což by nám mělo
dát informaci o tom, kolik hmoty vesmír obsahuje (více hmoty znamená
větší gravitační přitažlivost, a tedy větší tempo zpomalování). Uprostřed
devadesátých let se dva týmy snažily taková měření provést: Saul
Pearlmutter a jeho spolupracovníci v rámci projektu Supernova Cosmology
a Brian Schmidt se svými kolegy v rámci programu High-Z Supernova
Search. Koncem devadesátých let obě skupiny došly ke stejnému
ohromujícímu závěru: rozpínání prostoru se nezpomaluje. Namísto toho jejich
pozorování vzdálených supernov ukázala, že v posledních sedmi
miliardách let se rozpínání prostoru zrychlovalo. Jak je to možné? To je otázka,
s níž badatelé stále zápasí, ale favorizované vysvětlení se jakoby kruhem
vrací zpět do roku 1917. Má-li vesmír kosmologickou konstantu právě té
správné hodnoty, pak v něm až do doby před asi sedmi miliardami let nad
odpuzováním převládala mocnější běžná přitažlivost hmoty. S tím, jak
se vesmír rozpínal a hmota se v něm stále více rozplývala do prostoru,





15
gravitační přitažlivost se stále zmenšovala a u časového ukazatele sedm
miliard se odpudivé působení kosmologické konstanty stalo dominantním.
Od tohoto mezníku se tempo rozpínání prostoru zvyšuje – expanze prostoru
se zrychluje, jak o tom svědčí současná pozorování.
Krátce řečeno, Einsteinův „omyl“ z roku 1917, zavedení odpudivé
kosmologické konstanty, může být ve skutečnosti správný krok. Je-li tomu
tak, Einstein sice určil špatnou hodnotu kosmologické konstanty (protože jí
chtěl přesně vyrovnat gravitační přitažlivost, dokud nezesílí), ale samotná
koncepce se osvědčila. V této chvíli zkoumání tempa zrychlování expanze
prostoru vede badatele k závěru, že kosmologická konstanta odpovídá
za zhruba 70 procent energie celého vesmíru – a tedy většina balíčku
energie vesmíru může být docela dobře vyplněna touto mysteriózní neviditelnou
entitou. Mnozí badatelé souhlasí, že plné porozumění povaze této
neviditelné energie je jedním z nejdůležitějších problémů fyziky a kosmologie.
* * *
Poté, co Einstein uspěl se speciální teorií relativity ve spojení prostoru
a času do sjednoceného celku, a poté, co uspěl s obecnou teorií relativity
ve zjištění, že gravitační síla není nic jiného než deformování a zakřivení
prostoročasu, zamyslel se nad tím, zda není možné jít dál a svést druhou
tehdy známou sílu − elektromagnetickou – do geometrického rámce,
který rozvíjel. Einstein si představoval jedinou teorii, snad vyjádřenou
jediným principem či rovnicí, která by dokázala popsat všechny síly
přírody. V posledních třiceti letech svého života hledal Einstein tuto tzv.
jednotnou teorii s neúnavnou vášní, a ačkoli dokonce přicházely zprávy, že
uspěl (jedna z nich se objevila na titulní stránce New York Times), pokaždé
po přezkoumání výsledků došl k závěru, že cíle ještě nedosáhl. Přesto tyto
neúspěchy neoslabovaly jeho víru ve sjednocení. Dokonce roku 1955, když
se blížil k smrti v princetonské nemocnici, požádal o zápisník, do kterého
chtěl zapsat rovnice v zoufalé naději, že by mu mohla v posledních chvílích
života jednotná teorie vytanout na mysli. Nestalo se tak.
Mnoho let po Einsteinově smrti to vypadalo, že sen o jednotné teorii
zemřel s ním. Ale koncem šedesátých a začátkem sedmdesátých let se
to změnilo. Spojeným úsilím Sheldona Glashowa, Stevena Weinberga
a Abduse Salama se slabá jaderná síla (o níž Einstein sotva co věděl, ale
dnes ji pokládáme za původce radioaktivity) spojila s elektromagnetickou





16
silou v elektroslabou sílu – teorie pak byla experimentálně potvrzena
na konci sedmdesátých let. Roku 1974 Glashow spolu se svým kolegou
Howardem Giorgim učinil první krok k rozvinutí „teorie velkého
sjednocení“, v níž měly srůstat elektroslabá síla a silná jaderná síla (síla, o níž
dnes víme, že drží pohromadě atomová jádra) do jediné matematické
struktury. Ačkoliv jejich speciální model byl později experimentálně vyvrácen,
mnozí fyzikové věří, že je jen otázka času, kdy bude nějaká verze velkého
sjednocení potvrzena. Ale i přes tyto konkrétní kroky vstříc Einsteinovu
snu o sjednocení je jedna síla, která tvrdošíjně stojí stranou. Všechny
snahy vtělit do jednotné teorie sílu Einsteinovu srdci nejbližší, gravitaci,
se ukázaly být teoreticky nekonzistentní.
Problém je, že kvantová mechanika, která je základem našeho popisu
povahy tří negravitačních sil, se dostává do zásadních rozporů s
Einsteinovým popisem gravitace. Důvod tkví, stručně řečeno, v tom, že
einsteinovský obraz prostoru jako hladce zakřiveného geometrického
útvaru radikálně odporuje ústřední myšlence kvantové teorie: principu
neurčitosti. Roku 1927 Werner Heisenberg objevil, že kvantová
mechanika vede k nevyhnutelné neurčitosti, která omezuje možnost přesného
stanovení rozličných komplementárních fyzikálních veličin (jakými jsou
třeba poloha částice a její rychlost). Tato neurčitost má za následek to,
čemu fyzikové říkají „kvantové fluktuace“: částice, zhruba řečeno, se
takto nevyhnutelně zmítají a jejich polohy i rychlosti fluktuují v rozmezí
povoleném kvantovou neurčitostí. Tyto částicové fluktuace byly hodně
studovány experimentálně a Heisenbergův princip neurčitosti byl
potvrzen s vysokou přesností. Potíž však nastává, když se princip neurčitosti
neaplikuje na obyčejné částice, ale na gravitační sílu. Protože gravitace
v Einsteinově popisu není nic jiného než zakřivení prostoročasu, kvantové
fluktuace gravitační síly nejsou nic jiného než fluktuace samotné
konstrukce prostoročasu. Když fyzikové studovali tuto inkarnaci kvantové
neurčitosti matematicky, zjistili, že na malých vzdálenostech a v malém
časovém měřítku se kvantové gravitační fluktuace stávají tak velkými,
že prostoročas přestane připomínat hladce zakřivenou geometrii, na níž
Einstein založil obecnou teorii relativity. Namísto toho bude prostoročas
připomínat zpěněný vařící kotel, v němž se prostor divoce zmítá způsobem,
který Einsteinovy rovnice nezvládají.
Badatelé se po mnoho let snažili překonat tento nesoulad mezi
obecnou teorií relativity a kvantovou mechanikou, ale teprve v sedmdesátých





17
a ještě výrazněji v osmdesátých letech byla teoreticky nalezena schůdná
cesta, která by mohla vést k cíli. Superstrunová teorie napověděla, že
tradiční koncepce, podle níž jsou fundamentálními částicemi přírody body
zanedbatelně malé rozlohy, je nesprávná. Namísto toho teorie předpokládá,
že nejzákladnější entity, z nichž se vytváří hmota, jsou nepatrná
jednorozměrná vlákna energie, která by po dostatečném zvětšení vypadala jako malé
kmitající struny. „Dostatečným“ se tu míní násobitel mnohomiliardkrát
větší, než jakého je možno dosáhnout i našimi nejdůmyslnějšími přístroji,
a tím superstrunová teorie vysvětluje, proč si fyzikové dlouho mysleli, že
elementární částice musí být body.
Nemusí být patrné, že nám tento přechod od bodových částic ke strunám,
které jsou tak malé, že vypadají jako body, příliš pomůže. Ale je tomu tak.
Superstrunová teorie úspěšně sbližuje obecnou relativitu a
kvantovou mechaniku. Úplné vysvětlení, jak to dělá, je složité, zde nám však
pro pochopení postačí hrubý nástin. Zavedeme-li struny jako základní
ingredienty, superstrunová teorie vychází ze staré myšlenky o bodových
částicích a roztahuje ji – rozpíná ji – do nové myšlenky nepatrných
vláken. Toto roztažení bodů ve vlákna vede také k tomu, že mikroskopická
struktura prostoru se roztahuje ve srovnání s tím, jak byla nazírána (a jak
byla matematicky modelována ve výpočtech) před superstrunovou teorií.
Když struny roztahují prostor na mikroskopické úrovni, divoká zmítání,
která byla zdrojem teoretického konfliktu mezi kvantovou mechanikou
a obecnou teorií relativitou, jsou rozepjata a tím rozředěna. A jak potvrzují
detailní výpočty, toto rozředění divokých prostoročasových fluktuací je
právě postačující k tomu, aby kvantová mechanika a obecná teorie
relativity mohly srůst v matematicky konzistentní kvantovou teorii gravitace.
Superstrunová teorie však nejen spojuje obecnou relativitu s kvantovou
mechanikou, ale má také prostředky k tomu, aby zahrnula – na stejném
základě – elektromagnetickou, slabou i silnou sílu. V superstrunové teorii je
každá z těchto sil prostě sdružena s jiným vzorem kmitání na struně. A tak
jako je kytarový akord složen ze čtyř různých tónů, jsou čtyři síly přírody
spojeny v hudbě superstrunové teorie. A co víc, totéž platí pro veškerou
hmotu. Elektron, kvarky, neutrina a všechny další částice jsou v
superstrunové teorii také popsány jako struny s rozličnými vzory kmitání. Takže
všechna hmota a všechny síly jsou shrnuty do jedné přihrádky kmitajících
strun – a jsou tedy právě tak sjednoceny, jak to má v jednotné teorii být.





18
Konečně si superstrunová teorie žádá, aby stavba vesmíru měla více
než tři prostorové rozměry. To mohlo znít podivně a překvapivě, když
to bylo vysloveno poprvé, ale je to myšlenka, která předchází
supestrunové teorii a jednu dobu se jí věnoval i Einstein. Již roku 1919 německý
matematik Theodor Kaluza zjistil, že když doplní čtvrtý rozměr prostoru
a přeformuluje obecnou teorii relativity do tohoto rozšířeného prostředí,
výsledný soubor rovnic zahrne rovnice původní Einsteinovy formulace a −
neuvěřitelně – také rovnice Maxwellovy elektrodynamiky. Čtvrtý rozměr
prostoru je tedy schopen rovnice gravitace a elektromagnetismu spojit.
Po chvíli váhání se Einstein stal nadšeným stoupencem tohoto přístupu
k sjednocení dvou sil, ale po letech výzkumu (s důležitými příspěvky
Oskara Kleina) se tento tzv. Kaluzův-Kleinův přístup k unifikaci ukázal
neschopným vyrovnat se s některými detaily (do tohoto rámce se
například nedařilo vtělit elektron se známými hodnotami hmotnosti a náboje).
Naopak v superstrunové teorii se Kaluzova-Kleinova myšlenka
extrarozměrů vynořuje ze samotné teorie a problémy, které sužovaly stoupence
původního Kaluzova-Kleinova přístupu, nevznikají. Navíc geometrie
extrarozměrů – o nichž se obvykle předpokládá, že jsou v prostorovém ohledu
velmi malé, abychom vysvětlili, proč je nepozorujeme – má vliv na to, jak
struny kmitají (asi jako geometrie lesního rohu ovlivňuje vzory kmitání
vzduchu, který prochází jeho vnitřkem, geometrie extrarozměrů ovlivňuje
vzory kmitání strun), a tedy i na pozorovanou fyziku. To znamená, že
geometrie prostoročasu může být spojena nejen s gravitační silou, jak to zjistil
Einstein, ale skrze extrarozměry může geometrie postoročasu také určovat
hmotnosti a náboje elementárních částic (tyto vlastnosti částic jsou určeny
vzory kmitání strun, které jsou zase ovlivněny geometrií extrarozměrů).
Zkrátka superstrunová teorie napovídá, že geometrie by mohla vysvětlit,
proč je vesmír takový, jaký je.
Myslím, že kdyby byl Einstein naživu, našel by v superstrunové teorii
mnoho přesvědčivého a vzrušujícího. Superstrunová teorie posunuje vpřed
jeho hledání sjednocení. Vyplývá to z Einsteinovy filosofie, ztělesněné
v obecné teorii relativity, která se při popisu vesmíru silně opírá o
geometrické myšlenky. A superstrunová teorie ukazuje, jak se může obecná
relativita stát slučitelnou s kvantovou mechanikou. Přesto by Einstein
bezpochyby pohlížel na superstrunovou teorii také se značnou skepsí.
Krátce po svém zveřejnění mohly být speciální i obecná teorie relativity
podrobeny přísnému testování, a tak i když vedou k šokujícím důsledkům,





19
nezbývalo než brát je vážně, protože experimenty ukázaly, že fungují.
Naopak superstrunová teorie dosud nenašla experimentální oporu. Učinit
dvě experimentálně potvrzené teorie – obecnou teorii relativity a kvantovou
teorii – slučitelnými znamená důležitý krok. Ale nikdo nebude přesvědčen,
že superstrunová teorie je správná, že je to ta jednotná teorie, kterou
Einstein hledal, ale nikdy nenašel, dokud nebude ona sama experimentálně
potvrzena. Při rostoucích možnostech urychlovačů po celém světě a stále
důmyslnějších dalekohledů sbírajících data s bezprecedentní přesností by
se toto potvrzení mohlo zdařit ještě v tomto století. Pak budou Einsteinovy
teorie relativity chápány jako část mnohem velkolepější teoretické
syntézy. Nestane-li se to, fyzikové celého světa nepochybně přenesou hledání
sjednocení na další cesty (některé jiné přístupy, jako smyčková kvantová
gravitace, byly již značně rozvinuty a energicky se na nich pracuje).
Einstein zapálil pochodeň jednotné teorie. Fyzikové, kteří jdou a půjdou v jeho
stopách, učiní všechno pro to, aby nepřestala hořet.





20
POZNÁMKA K ŠESTÉMU VYDÁNÍ
Pro toto vydání jsem kompletně zrevidoval „Zobecnění teorie gravitace“
a dal jsem mu název „Relativistická teorie nesymetrického pole“. Vedl mě
k tomu úspěch, jehož jsem dosáhl – částečně ve spolupráci se svou
asistentkou B. Kaufmanovou – při zjednodušení odvození i tvaru rovnic pole.
Celá teorie se tak stala průhlednější, aniž se změnil její obsah.
Prosinec 1954 A. E.





21
PROSTOR A ČAS
V PŘEDRELATIVISTICKÉ FYZICE
Teorie relativity je nejtěsněji spojena s teorií prostoru a času. Začnu proto
stručným přezkoumáním našich představ o prostoru a čase, ačkoliv si
uvědomuji, že tím otevírám kontroverzní záležitost. Úkolem veškeré vědy, ať
už jde o přírodní vědy nebo o psychologii, je uspořádat naše prožitky a dát
jim podobu logického systému. Jak jsou naše vžité představy o prostoru
a čase spojeny s povahou našich prožitků?
Osobní prožitky se nám skládají do řady událostí a v této řadě se nám
jednotlivé události, jak si na ně pamatujeme, jeví uspořádány podle
kritéria „dříve“ a „později“, za něž už v analýze pokročit nedovedeme. Pro
jednotlivce tedy existuje „Ich-čas“, subjektivní čas. Ten sám o sobě není
měřitelný, mohu ovšem přiřadit událostem čísla tak, aby s pozdější událostí
bylo spojeno větší číslo než s událostí dřívější; povaha tohoto spojení může
však být zcela libovolná. Toto spojení mohu uskutečnit pomocí hodin, když
srovnávám pořadí událostí vytvářených hodinami s pořadím dané řady
událostí. Hodinami může být jakýkoliv objekt, který poskytuje řadu
událostí, jež lze odpočítávat, a má další vlastnosti, o nichž promluvím později.
Pomocí jazyka si mohou rozličné osoby své prožitky do jisté míry
porovnat. Pak se ukazuje, že určité smyslové vjemy rozličných osob si
navzájem odpovídají, zatímco pro jiné smyslové vjemy žádnou takovou
korespondenci stanovit nemůžeme.
Zvykáme si tak považovat za reálné ty smyslové vjemy, které jsou
společné různým jednotlivcům a které jsou tedy do značné míry neosobní.
Přírodní vědy a speciálně ta nejfundamentálnější z nich, fyzika, se zabývají
takovými smyslovými vjemy. Představa fyzikálních těles, zejména tuhých
těles, je relativně stálým komplexem takových smyslových vjemů. I hodiny
jsou těleso či systém v témže smyslu, mají však tu přídavnou vlastnost, že
řady událostí, které se na nich odpočítávají, jsou tvořeny elementy, které
mohou být vesměs považovány za sobě rovné.





22
Jediné ospravedlnění pro naše pojmy a soustavy pojmů je v tom, že
slouží k vyjádření komplexu našich zkušeností, mimo to žádné oprávnění
nemají. Jsem přesvědčen, že filosofové měli neblahý vliv na pokrok
vědeckého myšlení, když odstranili jisté fundamentální pojmy z oblasti
empirismu, kde jsme je měli pod kontrolou, do nedosažitelných výšin a priori.
Neboť i když by to mohlo vypadat, že vesmír idejí nelze logickou cestou
vyvodit ze zkušenosti, nýbrž je v jistém smyslu výtvorem lidského ducha,
bez něhož není žádná věda možná, přesto je právě tak málo nezávislý
na povaze naší zkušenosti jako šaty na tvarech lidského těla. To zvláště
platí pro naše pojmy času a prostoru, které fyzikové fakticky museli snést
z Olympu a priori, aby je zpracovali a učinili použitelnými.
Přejděme nyní k našim pojmům a úsudkům o prostoru. I zde je podstatné
věnovat bedlivou pozornost vztahům zkušenosti k našim pojmům. Myslím,
že Poincaré to jasně rozpoznal ve své knize La Science et l’Hypothèse. Mezi
všemi změnami, které můžeme vnímat na tuhém tělese, se mimořádnou
jednoduchostí vyznačují ty, jichž můžeme vratně dosáhnout, když tělesy
podle své vůle pohybujeme; Poincaré to nazval změnami polohy. Pomocí
prostých změn polohy můžeme uvést tělesa do stavu, v němž se vzájemně
dotýkají. Věty o shodnosti, podstatné pro geometrii, vyjadřují zákony, které
platí pro takové změny polohy. Pro pojem prostoru se jeví jako podstatné
toto: Můžeme vytvořit nová tělesa, když připojíme tělesa B, C, ... k tělesu
A; řekneme, že tím těleso A prodlužujeme. Můžeme prodloužit těleso A tak,
že se dotýká libovolného jiného tělesa X. Soubor všech prodloužení tělesa
A můžeme označit jako „prostor tělesa A“. Pak platí, že všechna tělesa jsou
v „prostoru (libovolně zvoleného) tělesa A“. V tomto smyslu nemůžeme
mluvit o abstraktním prostoru, ale pouze o „prostoru příslušném tělesu A“.
Zemská kůra hraje v každodenním životě při posuzování relativních poloh
těles natolik dominantní roli, že to vedlo k abstraktnímu pojetí prostoru,
které je nepochybně neobhajitelné. Abychom se zbavili tohoto fatálního
omylu, budeme mluvit pouze o „vztažných tělesech“ či o „vztažném
prostoru“. Jak uvidíme později, upřesnění těchto pojmů učinila nezbytným
až obecná teorie relativity.
Nebudu zacházet do detailů, co se týče vlastností vztažného prostoru,
které vedly k tomu, že chápeme body jako elementy prostoru a prostor jako
kontinuum. Nebudu se také pokoušet dále rozebírat vlastnosti prostoru,
které ospravedlňují pojem spojitých řad bodů, čili křivek. Známe-li tyto
pojmy a jejich vztahy k tuhým tělesům naší zkušenosti, je snadné říci, co





23
míníme třírozměrností prostoru; ke každému bodu lze přiřadit tři čísla
(souřadnice) x
1
, x
2
, x
3
tak, že přiřazení je vzájemně jednoznačné a x
1
, x
2
,
x
3
se spojitě mění, když bod prochází spojitou řadu bodů (křivku).
V předrelativistické fyzice se předpokládalo, že zákony konfigurace
ideálních tuhých těles jsou slučitelné s eukleidovskou geometrií. Co tím
míníme, lze vyložit následovně: Dva body vyznačené v tuhém tělese tvoří
interval. Takový interval ve stavu klidu může být orientován vzhledem
k našemu vztažnému prostoru mnoha způsoby. Jestliže nyní body tohoto
prostoru mohou být vztaženy k souřadnicím x
1
, x
2
, x
3
tak, že rozdíly souřad -
nic ∆x
1
, ∆ x
2
, ∆ x
3
na dvou koncích intervalu dávají stejný součet kvadrátů
s xxx
2
1
2
2
2
3
2
=++∆∆∆ (1)
pro každou orientaci intervalu, pak vztažný prostor nazveme
eukleidovským a souřadnice nazveme kartézskými
1
. Stačí ovšem učinit tento předpo -
klad pro limitní případ nekonečně malého intervalu. V tomto předpokladu
je zahrnuto i něco poněkud méně speciálního, co však nemůžeme pominout,
protože je to zásadně důležité. Za prvé se předpokládá, že můžeme ideální
tuhá tělesa přemísťovat libovolným způsobem. Za druhé se předpokládá, že
chování ideálních tuhých těles při změnách orientace je nezávislé na látce,
z níž jsou tělesa vytvořena, a na změnách poloh těles, takže mohlo-li být
jednou dosaženo splynutí dvou intervalů, může se toho znovu dosáhnout
kdykoliv a kdekoliv. Oba tyto předpoklady, které jsou zásadně důležité pro
geometrii a speciálně pro fyzikální měření, přirozeně vyplývají ze
zkušenosti; v obecné teorii relativity stačí předpokládat jejich platnost pouze
pro vztažná tělesa a prostory, které jsou ve srovnání s astronomickými
rozměry nekonečně malé.
Veličinu s nazveme délkou intervalu. Aby mohla být jednoznačně určena,
je nutné libovolně stanovit délku určitého intervalu; například ji můžeme
položit rovnou 1 (jednotka délky). Pak mohou být stanoveny délky všech
ostatních intervalů. Zvolíme-li x
ν
jako lineárně závislé na parametru λ
xab
ννν
λ=+
obdržíme křivku, která má všechny vlastnosti přímek eukleidovské geo -
metrie. Zejména z toho snadno vyplývá, že uložíme-li n krát za sebou
1
Tento vztah musí platit pro libovolnou volbu počátku a směru (poměry ∆x
1
:

∆x
2
: ∆x
3
)
intervalu.





24
interval s podél přímky, dostaneme interval n
.
s . Délka je tudíž výsledkem
měření provedeného podél přímky užitím jednotkové měřicí tyče. Její
pojem je stejně nezávislý na souřadnicové soustavě jako pojem přímky,
jak to vyplyne z dalšího.
Přejdeme nyní k soustavě myšlenek, které hrají ve speciální i v obecné
teorii relativity analogickou roli. Klademe otázku: jsou kromě kartézských
souřadnic, kterých jsme použili, ještě jiné ekvivalentní souřadnice? Interval
má fyzikální význam, který je nezávislý na volbě souřadnic; a tak je tomu
i se sférickou plochou, kterou obdržíme jako soubor všech konců stejně
dlouhých intervalů, jež vedeme z libovolného bodu naší vztažné soustavy.
Jsou-li x
ν
právě tak jako x ′
ν
(ν probíhá hodnoty od 1 do 3) kartézské
souřadnice našeho vztažného prostoru, pak sférická plocha bude v našich dvou
soustavách souřadnic vyjádřena rovnicemi

∑=∆xconst
ν
2
. const.
(2)
∑′=∆xconst
ν
2
. const. (2a)
Jak musíme vyjádřit x ′
ν
pomocí x
ν
, aby rovnice (2) a (2a) byly vzájemně
ekvivalentní? Považujeme-li x ′
ν
za funkce x
ν
, můžeme podle Taylorovy
věty pro malé hodnoty ∆x
ν
psát
∆∆ ∆∆′ =

+

...



∂∂
∑∑
x
x
x
x
x
xx
xx
ν
ν
α α
α
ν
αβ αβ
αβ
1
2
2
,
Dosadíme-li tento vztah do (2a) a porovnáme s (1), vidíme, že x ′
ν
musí být
lineární funkcí x
ν
. Jestliže tedy klademe
′ =+

xabx
νννα
α
α
(3)
nebo
∆∆
′=

xb x
ννα
α
α
(3a)
pak ekvivalence rovnic (2) a (2a) bude vyjádřena podmínkou
∆∆

=
∑∑
xx
νν
λ
22
(λ nezávisí na ∆x
ν
) (2b)





25
Z toho plyne, že λ musí být konstanta. Položíme-li λ = 1, (2b) a (3a)
ustavují podmínky
bb
να
ν
νβ αβ
δ

= (4)
kde δ
αβ
= 1 nebo δ
αβ
= 0, podle toho, je-li α = β nebo α ≠ β. Podmínky (4)
se nazývají relacemi ortogonality a transformace (3), (4) lineárními
ortogonálními transformacemi. Požadujeme-li, aby bylo s
2
= Σ ∆x
ν
2
v každé
souřadnicové

soustavě, a používáme-li vždy téže jednotky měření, musí
být λ rovno 1. Tudíž lineární ortogonální transformace jsou jediné
transformace, jejichž pomocí lze přejít od jedné kartézské soustavy
souřadnic v našem vztažném prostoru k druhé. Vidíme, že provedením těchto
transformací rovnice přímky přejdou v rovnice přímky. Když převrátíme
rovnice (3a) tak, že vynásobíme obě strany veličinami b
νβ
a sečteme přes
všechna ν, dostáváme
bx bb xxx
νβννανβα
να
αβ αβ
β
δ∆∆∆∆′ ===
∑∑∑
(5)
Tytéž koeficienty b určují také inverzní substituci ∆x
ν
. Z geometrického
hlediska jsou b
να
kosiny úhlů mezi osami x ′
ν
a x
ν
.
Předchozí můžeme shrnout tak, že v eukleidovské geometrii jsou
(v daném vztažném prostoru) preferované soustavy souřadnic, kartézské
soustavy, které přecházejí jedna v druhou lineárními ortogonálními
transformacemi. Vzdálenost s mezi dvěma body našeho vztažného prostoru,
měřená měřicí tyčí, je v takovýchto souřadnicích vyjádřena mimořádně
jednoduchým způsobem. Celá geometrie může být vybudována na tomto
pojmu vzdálenosti. Při tomto přístupu se geometrie vztahuje k reálným
věcem (tuhým tělesům) a její teorémy jsou výroky o chování těchto věcí,
jejichž pravdivost či nepravdivost lze dokázat.
Je běžným zvykem studovat geometrii bez ohledu na jakýkoliv vztah
mezi jejími pojmy a zkušeností. Má to své výhody oddělit, co je čistě
logické a nezávislé na zkušenosti, která je ze své podstaty neúplná. To
vyhovuje čistému matematikovi. Je uspokojen, může-li vyvodit své teorémy
z axiomů korektně, to jest bez vad v logice. Otázka, zda je eukleidovská
geometrie pravdivá či nikoli, ho nezajímá. Pro naše účely je však potřebné
spojit fundamentální pojmy geometrie s přírodními objekty; bez takovéhoto
spojení je geometrie pro fyzika bezcenná. Fyzika zajímá otázka, zda jsou





26
teorémy geometrie pravdivé či nikoliv. Že z tohoto hlediska eukleidovská
geometrie znamená něco víc než pouhá vyvození logicky získaná z definic,
je možno vidět z následující prosté úvahy:
Mezi n body prostoru je n(n–1)/2 vzdáleností s
μν
; tyto vzdálenosti jsou
s 3n souřadnicemi vázány vztahy

sxx xx
μμμνν ν
2
11
2
22
2
=+ +(–)( –)...
()() () ()


Z těchto n(n–1)/2 rovnic můžeme vyloučit 3n souřadnic a po tomto
vyloučení zůstane pro s
μν
nejméně
nn
n
− ()

1
2
3 rovnic
2
. Protože s
μν
jsou
měřitelné veličiny a podle definice jsou vzájemně nezávislé, tyto vztahy
mezi s
μν
nejsou a priori nutné.
Z předešlého je zřejmé, že transformační rovnice (3), (4) mají v
eukleidovské geometrii fundamentální význam, když určují přechody od jedné
kartézské soustavy k druhé. Kartézské soustavy souřadnic se vyznačují
tím, že je v nich měřitelná vzdálenost mezi dvěma body s vyjádřena rovnicí
sx
22
=


ν
Jsou-li K
(x
ν
)
a K ′
(x ′
ν
)
dvě kartézské soustavy souřadnic, je
∆∆ xx
νν
22
∑∑
=

Pravá strana vztahu se identicky rovná levé straně v důsledku rovnic pro
lineární ortogonální transformace a rozdíl mezi nimi je jen v tom, že x
ν
je
zaměněno za x ′
ν
. To vyjadřuje výrok, že Σ ∆x
ν
2
je invariantem vzhledem
k lineárním ortogonálním transformacím. Je zřejmé, že v eukleidovské
geometrii mají objektivní význam nezávislý na speciální volbě
kartézských souřadnic ty a jenom ty veličiny, které mohou být vyjádřeny jako
invarianty vzhledem k lineárním ortogonálním transformacím. Proto je
teorie invariantů, která se zabývá jejich tvarem, pro analytickou geometrii
tak důležitá.
2
Ve skutečnosti je rovnic n (n ‒ 1)/2 ‒ 3n + 6.





27
Jako druhý příklad geometrického invariantu uvažujme objem. Je vyjá -
dřen jako
Vdxdxdx=
∫∫∫ 123
Pomocí Jacobiho věty můžeme psát
dxdx dx
xx x
xxx
dx dx dx′′′ =
∂ ′′′()
∂()
∫∫∫∫∫∫123
12 3
123
12 3
,,
,,
kde integrand v posledním integrálu je funkcionální determinant x ′
ν
vzhle -
dem k x
ν
a podle (3) se rovná determinantu | b
μν
| transformačních koefi -
cientů b
να
. Utvoříme-li determinant veličin δ
μα
z rovnice (4), obdržíme
pomocí věty o násobení determinantů
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
11
2
====±

|||||| ||;δ
αβ να νβ
ν
νν
bb bb
μμ
(6)
Jestliže se omezíme na transformace, které mají determinant +1 (a pouze
tyto dostaneme spojitými změnami souřadnicových soustav), pak V je
invariant.
3

Invarianty však nejsou jedinými prostředky, jak vyjádřit nezávislost
na speciální volbě kartézských souřadnic. Dalšími prostředky vyjádření
jsou vektory a tenzory. Vyjádřeme fakt, že bod s pohyblivými souřadnicemi
x
ν
leží na přímce. Máme
x
ν
– A
ν
= λΒ
ν
( ν od 1 do 3)
Bez omezení obecnosti můžeme klást
B
ν
2
1

=
Vynásobíme-li rovnice veličinami b
βν
(srovnej (3a) a (5)) a sečteme přes
všechna ν, dostáváme
′ − ′ = ′xA B
βββ
λ
3
Jsou tedy dva druhy kartézských soustav, které označujeme jako „pravotočivé“ a
„levotočivé“ soustavy. Rozdíl mezi nimi je znám každému fyzikovi a inženýrovi. Je zajímavé
poznamenat, že tyto dva druhy soustav nemohou být definovány geometricky každý sám
o sobě, ale pouze na základě kontrastu mezi nimi.





28
kde jsme zapsali
′ = ′ =
∑∑
BbB AbA
ββν
ν
νβ βν
ν
ν
;
To jsou rovnice přímek vzhledem k jiné kartézské soustavě souřadnic K′.
Mají stejný tvar jako rovnice v původní soustavě souřadnic. Je tedy zřejmé,
že přímky mají význam nezávislý na soustavě souřadnic. Formálně je to
dáno faktem, že veličiny (x
ν
‒ A
ν
) – λB
ν
se transformují jako komponenty
intervalu ∆x
ν
. Soubor tří veličin, definovaný v každé kartézské soustavě
souřadnic, které se transformují jako komponenty intervalu, se nazývá
vektor. Jestliže jsou tři komponenty vektoru nulové v jedné kartézské soustavě
souřadnic, jsou nulové ve všech soustavách, protože transformační
rovnice jsou homogenní. Můžeme tedy pochopit význam pojmu vektoru bez
odvolání na geometrickou reprezentaci. Uvedené chování rovnic přímky
můžeme vyjádřit slovy, že rovnice přímky je kovariantní vzhledem k
lineárním ortogonálním transformacím.
Nyní stručně ukážeme, že existují geometrické entity, které vedou
k pojmu tenzoru. Nechť je P
0
střed plochy druhého řádu, P jiný bod na této
ploše a ξ
ν
projekce intervalu P
0
P na souřadnicové osy. Pak rovnice plochy je
a
μν μν
ξξ

= 1
V tomto a v dalších analogických případech budeme vynechávat znak
sumace a rozumět, že sumace se provádí přes ty indexy, které se ve výrazu
objevují dvakrát. Zapíšeme tedy rovnici plochy jako
a
μνμν
ξξ= 1
Veličiny a
μν
při dané poloze středu určují úplně plochu ve zvolené
soustavě kartézských souřadnic. Ze známých transformačních zákonů pro ξ
ν
(3a) pro lineární ortogonální transformace snadno najdeme transformační
zákon
4
pro a
μν

= abba
στσμ τν μν
4
Rovnice a'
στ
ξ'
σ
ξ'
τ
= 1 může být pomocí vztahu (5) snadno nahrazena rovnicí
a'
στ
b
μσ
b
ντ
ξ
σ
ξ
τ
= 1, z čehož výsledek okamžitě vyplývá.





29
Tato transformace je homogenní a prvního řádu pro a
μν
. Takto transformo -
vané veličiny a
μν
se nazývají komponentami tenzoru druhého řádu (kvůli
zdvojenému indexu). Jsou-li všechny komponenty a
μν
tenzoru v nějaké
kartézské soustavě souřadnic nulové, pak jsou nulové v každé kartézské
soustavě. Příslušný tenzor (a) udává tvar a polohu plochy druhého řádu.
Tenzory vyššího řádu (s vyšším počtem indexů) mohou být
definovány analogicky. Je možné a vhodné považovat vektory za tenzory řádu 1
a invarianty (skaláry) za tenzory řádu nula. S ohledem na to lze problém
teorie invariantů formulovat takto: podle jakých zákonů lze utvořit z daných
tenzorů nové tenzory? Uvedeme teď tyto zákony, abychom jich mohli
později použít. Budeme se nejprve zabývat jen vlastnostmi tenzorů vzhledem
k transformacím od jedné kartézské soustavy k druhé v témže vztažném
prostoru, přičemž transformace jsou lineární a ortogonální. Protože zákony
jsou zcela nezávislé na počtu rozměrů prostoru, necháme nejprve číslo n
neurčeno.
Definice Je-li objekt definován vzhledem ke každé soustavě kartézských
souřadnic v n-rozměrném vztažném prostoru pomocí n
α
čísel A
μνρ
...

( α je
poče


       

internetové knihkupectví - online prodej knih


Knihy.ABZ.cz - knihkupectví online -  © 2004-2017 - ABZ ABZ knihy, a.s.