načítání...
menu
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Řešené příklady z matematiky – Lineární algebra – RNDr. Jaroslava Justová

Řešené příklady z matematiky - Lineární algebra

Elektronická kniha: Řešené příklady z matematiky
Autor: RNDr. Jaroslava Justová
Podnázev: Lineární algebra

– Učebnice je určena především vysokoškolským studentům nematematických oborů denního i kombinovaného studia a je vhodná pro přípravu na semináře a písemné testy. Obsahuje bohatou zásobu řešených příkladů z lineární algebry, s podrobným ... (celý popis)
Titul je skladem - ke stažení ihned
Médium: e-kniha
Vaše cena s DPH:  88
+
-
2,9
bo za nákup

hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%   celkové hodnocení
0 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: » Matik Liberec
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF
Upozornění: většina e-knih je zabezpečena proti tisku a kopírování
Médium: e-book
Rok vydání: 2016
Počet stran: 115
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-877-1106-4
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis

Učebnice je určena především vysokoškolským studentům nematematických oborů denního i kombinovaného studia a je vhodná pro přípravu na semináře a písemné testy. Obsahuje bohatou zásobu řešených příkladů z lineární algebry, s podrobným komentářem a vysvětlením postupu výpočtu. Každá kapitola je doplněna i stručným přehledem teorie. Probíraná témata: vektory, vektorové prostory, matice, soustavy lineárních rovnic, determinanty, maticová algebra, kvadratické formy.

Zařazeno v kategoriích
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

ˇ

Reˇsen ́e pˇr ́ıklady z matematiky

LINE

́

ARN

́

I ALGEBRA

RNDr. Jaroslava Justov ́a

Matik Liberec


Copyright c© Jaroslava Justov ́a, 2015

E-knihu vydal:

Matik Liberec

Vyd ́an ́ı prvn ́ı, 2015

ISBN 978-80-87711-06-4

Vˇsechna pr ́ava vyhrazena. Tato e-kniha je urˇcena pouze subjektu, kter ́y

ji leg ́alnˇe zakoupil, a to jen pro osobn ́ı uˇzit ́ı a v rozsahu stanoven ́em au

torsk ́ym z ́akonem. Je zak ́az ́ano jak ́ekoli dalˇs ́ı kop ́ırov ́an ́ı, prodej a ˇs ́ıˇren ́ı

textu nebo ˇc ́ast ́ı textu, vˇcetnˇe ˇs ́ıˇren ́ı prostˇrednictv ́ım elektronick ́e poˇsty,

SMS zpr ́av, MMS zpr ́av apod. D ́ale je zak ́az ́ano um ́ıstˇen ́ı souboru na

servery, ze kter ́ych je moˇzno soubor st ́ahnout, bez ohledu na to, kdo

sd ́ılen ́ı umoˇznil.


́

Uvodem

Tato uˇcebnice je vˇenov ́ana d ̊uleˇzit ́e oblasti matematiky, line ́arn ́ı algebˇre. Je urˇcena pˇredevˇs ́ım vysokoˇskolsk ́ym student ̊um prvn ́ıch roˇcn ́ık ̊u nematematick ́ych obor ̊u, ale m ̊uˇze b ́yt vhodnou pom ̊uckou i pro studenty pˇr ́ırodovˇedn ́ych gymn ́azi ́ı a dalˇs ́ı z ́ajemce o matematiku. Je zamˇeˇrena na srozumiteln ́e vysvˇetlen ́ı postup ̊u pˇri ˇreˇsen ́ı r ̊uzn ́ych typ ̊u ́uloh a je vhodn ́a nejen pro studenty denn ́ıho, ale i kombinovan ́eho studia.

Prob ́ıran ́e uˇcivo je rozdˇeleno do dev ́ıti kapitol. V kaˇzd ́e naleznete nejprve struˇcn ́y pˇrehled z ́akladn ́ıch poznatk ̊u z teorie, n ́asledovan ́y ˇreˇsen ́ymi pˇr ́ıklady s podrobn ́ym koment ́aˇrem a vysvˇetlen ́ım postupu v ́ypoˇctu. Metodick ́e zpracov ́an ́ı odpov ́ıd ́a tomu, ˇze line ́arn ́ı algebra je ˇcasto n ́apln ́ı jiˇz 1. semestru, proto se zde nevyskytuj ́ı ́ulohy, kter ́e by vyˇzadovaly vˇetˇs ́ı znalosti z matematick ́e anal ́yzy. Z ́ajemce o podrobnˇejˇs ́ı v ́yklad teorie s d ̊ukazy vˇet a n ́aroˇcnˇejˇs ́ı pˇr ́ıklady bych odk ́azala napˇr. na literaturu [1], [2]. Mou snahou bylo zahrnout do uˇcebnice vˇsechna z ́akladn ́ı t ́emata line ́arn ́ı algebry prob ́ıran ́a na nematematick ́ych oborech vysok ́ych ˇskol a poskytnout student ̊um rozs ́ahl ́y soubor ˇreˇsen ́ych ́uloh vhodn ́ych pro pˇr ́ıpravu na semin ́aˇre a p ́ısemn ́e testy.

Text vznikl na z ́akladˇe m ́ych dlouholet ́ych zkuˇsenost ́ı s vyuˇcov ́an ́ım matematiky na Technick ́e univerzitˇe v Liberci, na Fakultˇe pˇr ́ırodovˇednˇehumanitn ́ı a pedagogick ́e. Praktick ́a forma e-knihy umoˇzˇnuje m ́ıt ji st ́ale pˇri ruce – ve ˇcteˇcce, na poˇc ́ıtaˇci, v tabletu ˇci v mobilu.

Vˇeˇr ́ım, ˇze tato uˇcebnice pˇrispˇeje k lepˇs ́ımu porozumˇen ́ı prob ́ıran ́e l ́atky a ke snazˇs ́ımu zvl ́adnut ́ı Vaˇseho studia.

autorka

P.S. Vˇrele doporuˇcuji si uveden ́e pˇr ́ıklady nejen pˇreˇc ́ıst, ale tak ́e si je vypoˇc ́ıtat, s pr ̊ubˇeˇznou ˇci z ́avˇereˇcnou kontrolou v ́ysledku i postupu

ˇreˇsen ́ı.


Obsah

1. Aritmetick ́e vektory 6

2. Vektorov ́y prostor 17

3. Matice 30

4. Soustavy line ́arn ́ıch rovnic 43

5. Determinant 56

6. Inverzn ́ı matice 71

7. Maticov ́a algebra 84

8. Vlastn ́ı ˇc ́ısla a vlastn ́ı vektory 94

9. Kvadratick ́e formy 101

Pˇrehled matematick ́ych symbol ̊u a znaˇcen ́ı 112

Literatura 114

5


1. Aritmetick ́e vektory

Definice 1.1. Aritmetick ́ym n-rozmˇern ́ym vektorem nazveme

uspoˇr ́adanou n-tici re ́aln ́ych ˇc ́ısel.

Vektory znaˇc ́ıme: u = (u

1

,u

2

,...,u

n

), u

i

∈ R ∀ i = 1,...,n,

o = (0, 0,..., 0) ... nulov ́y vektor.

Z ́akladn ́ı operace s aritmetick ́ymi vektory

Mˇejme vektory u = (u

1

,u

2

,...,u

n

),v = (v

1

,v

2

,...,v

n

) a ˇc ́ıslo c ∈ R.

Zavedeme:

• Souˇcet vektor ̊u u a v: u + v = (u

1

+ v

1

,u

2

+ v

2

,...,u

n

+ v

n

).

• Re ́aln ́y n ́asobek vektoru u ˇc ́ıslem c: cu = (cu

1

,cu

2

,...,cu

n

).

Definice 1.2. Mˇejme n-rozmˇern ́e aritmetick ́e vektory u

1

,u

2

,...,u

k

.

Line ́arn ́ı kombinac ́ı tˇechto vektor ̊u nazveme vektor z, pro kter ́y plat ́ı:

z = c

1

u

1

+ c

2

u

2

+ ... + c

k

u

k

=

k

i=1

c

i

u

i

, c

i

∈ R.

Re ́aln ́a ˇc ́ısla c

i

z definice se naz ́yvaj ́ı koeficienty line ́arn ́ı kombinace.

Jsou-li vˇsechny koeficienty nulov ́e, pak se line ́arn ́ı kombinace naz ́yv ́a

trivi ́aln ́ı a jej ́ım v ́ysledkem je nulov ́y vektor.

Line ́arn ́ı z ́avislost a nez ́avislost vektor ̊u

Line ́arn ́ı z ́avislost a nez ́avislost je d ̊uleˇzitou vlastnost ́ı skupiny vektor ̊u.

Definice 1.3. Aritmetick ́e vektory u

1

,u

2

,...,u

k

se naz ́yvaj ́ı line ́arnˇe

z ́avisl ́e, jestliˇze existuj ́ı ˇc ́ısla c

1

,c

2

,...,c

k

∈ R, z nichˇz aspoˇn jedno je

nenulov ́e, a pˇritom

c

1

u

1

+ c

2

u

2

+ ... + c

k

u

k

= o.

6


V opaˇcn ́em pˇr ́ıpadˇe se vektory naz ́yvaj ́ı line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Vˇeta 1.1. Vektory jsou line ́arnˇe z ́avisl ́e, pr ́avˇe kdyˇz lze aspoˇn jeden

z nich vyj ́adˇrit jako line ́arn ́ı kombinaci ostatn ́ıch.

Z t ́eto vˇety plyne, ˇze line ́arnˇe z ́avisl ́e jsou skupiny vektor ̊u, kde jeden je

n ́asobkem jin ́eho, jeden je souˇctem jin ́ych, kde je obsaˇzen nulov ́y vektor

apod. Z n ́asleduj ́ıc ́ı vˇety vypl ́yv ́a, ˇze z ́avisl ́e jsou vektory tak ́e tehdy, kdyˇz

je jejich poˇcet vˇetˇs ́ı, neˇz kolik maj ́ı sloˇzek.

Vˇeta 1.2. Je-li k n-rozmˇern ́ych vektor ̊u a k > n, pak jsou vektory

line ́arnˇe z ́avisl ́e.

Obecnˇe se line ́arn ́ı (ne)z ́avislost zjiˇst

uje:

a) ˇreˇsen ́ım rovnice z definice – rovnice pro vektory se rozep ́ıˇse podle

jednotliv ́ych sloˇzek a ze vznikl ́e soustavy rovnic se vypoˇc ́ıtaj ́ı ˇc ́ısla c

i

.

Pak plat ́ı, ˇze vektory u

1

,u

2

,...,u

k

jsou

• line ́arnˇe z ́avisl ́e, jestliˇze ∃c

i

6= 0, ˇze

k

i=1

c

i

u

i

= 0,

• line ́arnˇe nez ́avisl ́e, jestliˇze

k

i=1

c

i

u

i

= 0 ⇒ c

i

= 0 ∀i = 1,...,k.

b) v ́yhodnˇeji pomoc ́ı hodnosti matice (viz kapitola Matice).

Pˇrid ́ame-li do skupiny line ́arnˇe z ́avisl ́ych vektor ̊u dalˇs ́ı vektor, bude nov ́a

skupina line ́arnˇe z ́avisl ́a. Odebereme-li ze skupiny line ́arnˇe nez ́avisl ́ych

vektor ̊u nˇekter ́y vektor, z ̊ustane skupina line ́arnˇe nez ́avisl ́a.

Pozn ́amka

Dvojrozmˇern ́e vektory m ̊uˇzeme graficky zn ́azornit v rovinˇe orientovanou

́useˇckou z bodu [0, 0]. Dva line ́arnˇe z ́avisl ́e vektory jsou rovnobˇeˇzn ́e,

dva line ́arnˇe nez ́avisl ́e vektory r ̊uznobˇeˇzn ́e. Analogicky lze zn ́azornit

trojrozmˇern ́e vektory v prostoru.

7


Skal ́arn ́ı souˇcin a norma aritmetick ́ych vektor ̊u

Pro aritmetick ́e vektory u = (u

1

,u

2

,...,u

n

),v = (v

1

,v

2

,...,v

n

) zav ́ad ́ıme

kromˇe z ́akladn ́ıch operac ́ı sˇc ́ıt ́an ́ı a n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem i dalˇs ́ı

operaci, a to skal ́arn ́ı souˇcin vektor ̊u u a v s oznaˇcen ́ım uv:

uv = u

1

v

1

+ u

2

v

2

+ ··· + u

n

v

n

=

n

i=1

u

i

v

i

.

Dva aritmetick ́e vektory u,v se naz ́yvaj ́ı ortogon ́aln ́ı, jestliˇze uv = 0.

Navz ́ajem ortogon ́aln ́ı nenulov ́e vektory jsou line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Vlastnosti skal ́arn ́ıho souˇcinu (u,v,z jsou aritmetick ́e vektory):

• uu ≥ 0 ∧ (uu = 0 ⇔ u = o),

• uv = vu,

• (u + v)z = uz + vz,

• c(uv) = (cu)v, c ∈ R.

Pomoc ́ı skal ́arn ́ıho souˇcinu zavedeme i dalˇs ́ı d ̊uleˇzit ́y pojem, a to norma

vektoru u, kterou znaˇc ́ıme ||u||:

||u|| =

uu.

Vlastnosti normy (u,v jsou aritmetick ́e vektory):

• ||uu||≥ 0 ∧ (||u|| = 0 ⇔ u = o),

• ||cu|| = |c|||u||, c ∈ R,

• ||u + v||≤||u|| + ||v|| (tzv. troj ́uheln ́ıkov ́a nerovnost).

Takto zaveden ́a norma se naz ́yv ́a eukleidovsk ́a. Normu aritmetick ́eho

vektoru lze zav ́est i jin ́ymi zp ̊usoby (viz Pˇr ́ıklad 1.16).

Pozn ́amky

1) Pˇri grafick ́em zn ́azornˇen ́ı dvojrozmˇern ́ych a trojrozmˇern ́ych vektor ̊u

vyjadˇruje norma vektoru jejich d ́elku. Nenulov ́e ortogon ́aln ́ı vektory

jsou na sebe kolm ́e.

2) Pro odchylku φ ∈〈0,π〉 dvou nenulov ́ych vektor ̊u plat ́ı vztah:

8


cos φ =

uv

||u||||v||

.

3) Je-li ||u|| = 1, vektor u se naz ́yv ́a normovan ́y. Z libovoln ́eho vektoru

u m ̊uˇzeme vytvoˇrit normovan ́y vektor tak, ˇze ho vydˇel ́ıme jeho normou

(tj. u

=

u

||u||

).

ˇ

Reˇsen ́e pˇr ́ıklady

Pˇr ́ıklad 1.1.

Jsou d ́any vektory u

1

= (2, −3, 0), u

2

= (2, 1, 6), u

3

= (−1, 1, −1).

Utvoˇrte jejich line ́arn ́ı kombinace:

a) t = 7u

2

,

b) v = 4u

1

+ 5u

3

,

c) w = 2u

1

− 2u

2

+ u

3

.

Postup: V ́ypoˇcet provedeme po sloˇzk ́ach:

a) t = 7(2, 1, 6) = (14, 7, 42),

b) v = 4(2, −3, 0) + 5(−1, 1, −1) = (3, −7, −5),

c) w = 2(2, −3, 0) − 2(2, 1, 6) + (−1, 1, −1) = (−1, −7, −13).

Pˇr ́ıklad 1.2.

Jsou d ́any vektory t = (2, 4, −5),u = (3, 1, −2),v = (3, 6, −1, 1).

Z n ́asleduj ́ıc ́ıch z ́apis ̊u vyberte ty, kter ́e oznaˇcuj ́ı nˇejakou line ́arn ́ı

kombinaci tˇechto vektor ̊u:

2t, 3t − 8u, 2u + 4, −3v, tu, 2u + 6v, (0, 0, 0).

Postup: Line ́arn ́ı kombinace vektor ̊u pˇredstavuj ́ı z ́apisy:

2t, 3t − 8u, −3v, (0, 0, 0).

Line ́arn ́ımi kombinacemi nejsou:

2u + 4 ... nelze k vektoru pˇriˇc ́ıtat ˇc ́ıslo,

tu ... line ́arn ́ı kombinac ́ı nen ́ı skal ́arn ́ı souˇcin vektor ̊u,

2u + 6v ... nelze sˇc ́ıtat vektory s r ̊uzn ́ym poˇctem sloˇzek.

9


Pˇr ́ıklad 1.3.

Zjistˇete, zda vektor z = (1, 4, 0) je line ́arn ́ı kombinac ́ı vektor ̊u u,v, kde

u = (−2, 1, 3) a v = (1, −2, −2).

Postup: Podle definice line ́arn ́ı kombinace mus ́ıme zjistit, zda existuj ́ı

ˇc ́ısla c

1

,c

2

, aby:

z = c

1

u + c

2

v,

(1, 4, 0) = c

1

(−2, 1, 3) + c

2

(1, −2, −2).

Rozeps ́an ́ım po sloˇzk ́ach dostaneme:

1 = −2c

1

+c

2

,

4 = c

1

−2c

2

,

0 = 3c

1

−2c

2

.

Dosazovac ́ı nebo sˇc ́ıtac ́ı metodou z ́ısk ́ame ˇreˇsen ́ı c

1

= −2,c

2

= −3.

Vektor z je line ́arn ́ı kombinac ́ı zadan ́ych vektor ̊u: z = −2u − 3v.

Pˇr ́ıklad 1.4.

Podle definice zjistˇete, zda vektory (1, −1, 0, 2), (2, 0, 2, 3), (2, −4, 2, 1)

jsou line ́arnˇe z ́avisl ́e, nebo line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Postup: Z vektor ̊u sestav ́ıme line ́arn ́ı kombinaci s koeficienty c

1

,c

2

,c

3

a

ˇreˇs ́ıme rovnici:

c

1

(1, −1, 0, 2) + c

2

(2, 0, 2, 3) + c

3

(2, −4, 2, 1) = (0, 0, 0, 0).

Rozeps ́an ́ım po sloˇzk ́ach dostaneme soustavu:

c

1

+2c

2

+2c

3

= 0,

−c

1

−4c

3

= 0,

2c

2

+2c

3

= 0,

2c

1

+3c

2

+c

3

= 0.

Dosazovac ́ı nebo sˇc ́ıtac ́ı metodou z ́ısk ́ame jedin ́e ˇreˇsen ́ı c

1

= 0, c

2

= 0,

c

3

= 0, proto jsou vektory line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

10


Pˇr ́ıklad 1.5.

Podle definice spoˇc ́ıtejte, zda vektory (−2, 1, 2), (0, 1, 5), (2, 0, 3) jsou

line ́arnˇe z ́avisl ́e, nebo line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Postup: Pro line ́arn ́ı kombinaci vektor ̊u s koeficienty c

1

,c

2

,c

3

budeme

ˇreˇsit rovnici:

c

1

(−2, 1, 2) + c

2

(0, 1, 5) + c

3

(2, 0, 3) = (0, 0, 0).

Rozeps ́an ́ım po sloˇzk ́ach dostaneme soustavu:

−2c

1

+2c

3

= 0,

c

1

+c

2

= 0,

2c

1

+5c

2

+3c

3

= 0,

c

3

= c

1

,

c

2

= −c

1

,

2c

1

−5c

1

+3c

1

= 0,

0 = 0.

Soustava m ́a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen ́ı, tedy i ˇreˇsen ́ı nenulov ́e. Proto jsou

zadan ́e vektory line ́arnˇe z ́avisl ́e.

Pˇr ́ıklad 1.6.

Zjistˇete, pro kter ́e a jsou vektory (4, −1, 2), (1, 2, −1), (1,a, 5) line ́arnˇe

z ́avisl ́e.

Postup: Sestav ́ıme line ́arn ́ı kombinaci s koeficienty c

1

,c

2

,c

3

a hled ́ame

nenulov ́e ˇreˇsen ́ı rovnice:

c

1

(4, −1, 2) + c

2

(1, 2, −1) + c

3

(1,a, 5) = (0, 0, 0).

Dostaneme soustavu:

11


4c

1

+c

2

+c

3

= 0,

−c

1

+2c

2

+ac

3

= 0,

2c

1

−c

2

+5c

3

= 0,

c

2

= −4c

1

− c

3

,

c

1

= −c

3

⇒ c

2

= 3c

3

,

c

3

+6c

3

+ac

3

= 0,

c

3

(a + 7) = 0.

Z 1. a 3. rovnice jsme vyj ́adˇrili c

2

a c

1

a dosadili je do 2. rovnice. Posledn ́ı

rovnice m ́a dvˇe ˇreˇsen ́ı:

a) c

3

= 0, pak ale i c

1

= 0,c

2

= 0 a vektory by byly line ́arnˇe nez ́avisl ́e

pro kaˇzd ́e a,

b) a = −7 a pak m ̊uˇze b ́yt c

3

libovoln ́e nenulov ́e ˇc ́ıslo. Tedy pro hodnotu

a = −7 jsou vektory line ́arnˇe z ́avisl ́e.

Pˇr ́ıklad 1.7.

Mˇejme line ́arnˇe nez ́avisl ́e vektory u,v,w ∈ V

n

. Zjistˇete, zda jsou vektory

(u − v), (u + w), (u + v − 2w) line ́arnˇe z ́avisl ́e, nebo line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Postup: Sestav ́ıme opˇet line ́arn ́ı kombinaci s koeficienty c

1

,c

2

,c

3

a ˇreˇs ́ıme

rovnici:

c

1

(u − v) + c

2

(u + w) + c

3

(u + v − 2w) = o,

(c

1

+ c

2

+ c

3

)u + (c

3

− c

1

)v + (c

2

− 2c

3

)w = o.

Protoˇze vektory u,v,w ∈ V

n

jsou line ́arnˇe nez ́avisl ́e, mus ́ı platit:

c

1

+c

2

+c

3

= 0,

−c

1

+c

3

= 0,

c

2

−2c

3

= 0.

Soustava m ́a jedin ́e ˇreˇsen ́ı c

1

= 0,c

2

= 0,c

3

= 0, proto jsou vektory

(u − v), (u + w), (u + v − 2w) tak ́e line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Pozn ́amka

Line ́arn ́ı z ́avislost a nez ́avislost vektor ̊u se v ́yhodnˇeji zjiˇst

uje pomoc ́ı hod

nosti matice (viz kapitola Matice).

12


Pˇr ́ıklad 1.8.

Ovˇeˇrte vlastnost skal ́arn ́ıho souˇcinu aritmetick ́ych vektor ̊u u,v a z:

(u + v)z = uz + vz.

Postup: Podle definice souˇctu vektor ̊u a skal ́arn ́ıho souˇcinu vektor ̊u

rozep ́ıˇseme:

(u + v)z = (u

1

+ v

1

,u

2

+ v

2

,...,u

n

+ v

n

)(z

1

,z

2

,...,z

n

) =

(u

1

+ v

1

)z

1

+ (u

2

+ v

2

)z

2

+ ... + (u

n

+ v

n

)z

n

=

= u

1

z

1

+ v

1

z

1

+ u

2

z

2

+ v

2

z

2

+ ... + u

n

z

n

+ v

n

z

n

=

= (u

1

z

1

+ u

2

z

2

+ ... + u

n

z

n

) + (v

1

z

1

+ v

2

z

2

+ ... + v

n

z

n

) = uz + vz.

T ́ım jsme vlastnost dok ́azali pro libovoln ́e n-rozmˇern ́e vektory.

Pˇr ́ıklad 1.9.

Jsou d ́any vektory u = (3, 3, −3), v = (1, 2, 3), z = (−2, 4, −2). Najdˇete

dvojice vektor ̊u, kter ́e jsou navz ́ajem ortogon ́aln ́ı.

Postup: Spoˇc ́ıt ́ame vˇsechny jejich skal ́arn ́ı souˇciny:

uv = (3, 3, −3)(1, 2, 3) = 3 + 6 − 9 = 0,

uz = (3, 3, −3)(−2, 4, −2) = −6 + 12 + 6 = 12,

vz = (1, 2, 3)(−2, 4, −2) = −2 + 8 − 6 = 0.

Navz ́ajem ortogon ́aln ́ı jsou dvojice vektor ̊u uv a vz.

Pˇr ́ıklad 1.10.

Spoˇctˇete, pro kter ́a t ∈ R jsou vektory u = (5, 4,t) a v = (t, 1,t) orto

gon ́aln ́ı.

Postup: Pro ortogon ́aln ́ı vektory plat ́ı, ˇze jejich skal ́arn ́ı souˇcin mus ́ı b ́yt

roven 0. Tedy:

(5, 4,t)(t, 1,t) = 5t + 4 + t

2

13


a ˇreˇs ́ıme kvadratickou rovnici:

t

2

+ 5t + 4 = 0 ⇒ (t + 1)(t + 4) = 0 ⇒ t = −1 ∨ t = −4.

Dvojice ortogon ́aln ́ıch vektor ̊u jsou:

a) u = (5, 4, −1),v = (−1, 1, −1),

b) u = (5, 4, −4),v = (−4, 1, −4).

Pˇr ́ıklad 1.11.

Ovˇeˇrte vlastnost normy aritmetick ́ych vektor ̊u pro u = (u

1

,u

2

,...,u

n

):

||cu|| = |c|||u||, c ∈ R.

Postup: Podle definice normy rozep ́ıˇseme:

||cu|| =

(cu

1

)

2

+ (cu

2

)

2

+ ... + (cu

n

)

2

=

c

2

(u

2

1

+ u

2

2

+ ... + u

2

n

) =

= |c|

u

2

1

+ u

2

2

+ ... + u

2

n

= |c|||u||.

T ́ım jsme vlastnost dok ́azali pro libovoln ́y vektor u.

Pˇr ́ıklad 1.12.

Jsou d ́any vektory v = (−3, 1, 2, −7, 1), w = (4, 6, −4, 0, 8). Spoˇctˇete

jejich skal ́arn ́ı souˇcin a jejich normy.

Postup:

a) Skal ́arn ́ı souˇcin: vw =

5

i=1

v

i

w

i

= −12 + 6 − 8 + 0 + 8 = −6.

b) Normy: ||v|| =

vv =

9 + 1 + 4 + 49 + 1 =

64 = 8,

||w|| =

ww =

16 + 36 + 16 + 0 + 64 =

132 = 2

33,

nebo uprav ́ıme: w = (4, 6, −4, 0, 8) = 2 (2, 3, −2, 0, 4) a

||w|| = ||2(2, 3, −2, 0, 4)|| = 2

4 + 9 + 4 + 0 + 16 = 2

33.

14


Pˇr ́ıklad 1.13.

Najdˇete normovan ́y vektor z, kter ́y je n ́asobkem vektoru u = (2, 2, 1).

Postup: Hled ́ame vektor z, z = ku = (2k, 2k,k), aby ||z|| = 1:

||z|| =

4k

2

+ 4k

2

+ k

2

=

9k

2

= 3|k|

3|k| = 1 ⇒ k = ±

1

3

⇒ z

1

=

(

2

3

,

2

3

,

1

3

)

, z

2

=

(

2

3

, −

2

3

, −

1

3

)

.

Zadan ́a ́uloha m ́a tedy dvˇe ˇreˇsen ́ı.

Pˇr ́ıklad 1.14.

Jsou d ́any vektory u = (−2, 2, 0) a v = (−1, 2, 1). Spoˇctˇete jejich

odchylku φ a rozhodnˇete, zda jsou ortogon ́aln ́ı.

Postup: Pro odchylku φ ∈〈0,π〉 plat ́ı:

cos φ =

uv

||u||||v||

,

cos φ =

2 + 4 + 0

4 + 4 + 0

1 + 4 + 1

=

6

8

6

=

6

2

2

=

3

2

⇒ φ =

π

6

.

Odchylka vektor ̊u u,v je φ =

π

6

, vektory ortogon ́aln ́ı nejsou.

Pˇr ́ıklad 1.15.

Ovˇeˇrte, ˇze pro dva ortogon ́aln ́ı vektory u,v ∈ V a eukleidovskou normou

||u|| plat ́ı:

||u + v||

2

= ||u||

2

+ ||v||

2

.

Postup: Pro ortogon ́aln ́ı vektory je uv = vu = 0:

||u + v||

2

= (u + v)(u + v) = uu + uv + vu + vv = uu + vv = ||u||

2

+ ||v||

2

.

(V prostoru V

2

tento vztah vyjadˇruje Pythagorovu vˇetu.)

15


Pˇr ́ıklad 1.16.

Pro n-rozmˇern ́e vektory lze zav ́est i jin ́e normy neˇz normu eukleidov

skou. Pro u = (u

1

,...,u

n

) se pouˇz ́ıv ́a napˇr. norma:

||u|| = max|u

i

|, i = 1, 2,...,n.

Ovˇeˇrte pro ni z ́akladn ́ı vlastnosti normy:

a) ∀u ∈ V

n

(||uu||≥ 0) ∧ (||u|| = 0 ⇔ u = o),

b) ∀u ∈ V

n

∀c ∈ R ||cu|| = |c|||u||,

c) ∀u,v ∈ V

n

||u + v||≤||u|| + ||v||.

Postup: Pro vˇsechny u,v ∈ V

n

,c ∈ R plyne z vlastnost ́ı absolutn ́ı hod

noty:

a) max|u

i

|≥ 0, max|u

i

| = 0 ⇔ u = (0, 0,..., 0).

b) ||cu|| = max|cu

i

| = max{|cu

1

|,..., |cu

n

|} = |c| max{|u

1

|,..., |u

n

|} =

= |c|||u||.

c) ||u + v|| = max|u

i

+ v

i

|≤ max|u

i

| + max|v

i

| = ||u|| + ||v||,

pˇriˇcemˇz maxima jsme urˇcovali vˇzdy pro i = 1,...,n. Z ́akladn ́ı vlastnosti

uveden ́e normy jsou tedy splnˇeny.

16


2. Vektorov ́y prostor

Definice 2.1. Nepr ́azdn ́a mnoˇzina V se naz ́yv ́a vektorov ́y (pˇr ́ıp. line ́arn ́ı) prostor nad R, jestliˇze: a) ∀u,v ∈ V je (u + v) ∈ V , b) ∀u ∈ V, ∀k ∈ R je ku ∈ V , c) ∀u,v,z ∈ V, ∀c,d ∈ R plat ́ı:

1) u + v = v + u,

2) (u + v) + z = u + (v + z),

3) ∃ o ∈ V , ˇze ∀u ∈ V u + o = u,

4) ∀u ∈ V ∃(−u) ∈ V , ˇze u + (−u) = o,

5) 1u = u,

6) c(du) = (cd)u,

7) c(u + v) = cu + cv,

8) (c + d)u = cu + du. Prvky vektorov ́eho prostoru se obecnˇe naz ́yvaj ́ı vektory. Vlastnosti a), b) znamenaj ́ı, ˇze mnoˇzina V je tzv. uzavˇren ́a vzhledem k operaci sˇc ́ıt ́an ́ı a je uzavˇren ́a vzhledem k operaci n ́asoben ́ı re ́aln ́ym

ˇc ́ıslem. Vlastnosti 1), 2), 7), 8) pˇredstavuj ́ı komutativn ́ı, asociativn ́ı

a distributivn ́ı z ́akony, vlastnosti 3) a 4) zaruˇcuj ́ı existenci nulov ́eho prvku (o) a existenci opaˇcn ́eho prvku pro ∀u ∈ V . Vektorov ́ym prostorem mohou b ́yt r ̊uzn ́e typy mnoˇzin s definovan ́ymi operacemi sˇc ́ıt ́an ́ı a n ́asoben ́ı ˇc ́ıslem – mnoˇzina posloupnost ́ı, mnoˇzina re ́aln ́ych funkc ́ı atd. (viz pˇr ́ıklady) a je j ́ım i jednoprvkov ́a mnoˇzina V = {0}. D ̊uleˇzit ́y vektorov ́y prostor tvoˇr ́ı tak ́e aritmetick ́e n-rozmˇern ́e vektory se zaveden ́ymi operacemi sˇc ́ıt ́an ́ı a n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem. Znaˇcen ́ı:

V, L, (V, +, ·), (L, +, ·) – obecn ́y vektorov ́y prostor se zadan ́ymi operacemi,

V

n

– aritmetick ́y vektorov ́y prostor n-rozmˇern ́y (napˇr. V

2

,V

3

,...),

17


V

– prostor posloupnost ́ı.

Pozn ́amka

Vektorov ́y prostor lze zav ́est i nad C (komplexn ́ı ˇc ́ısla), ale my se budeme

zab ́yvat jen vektorov ́ym prostorem nad R. Ten d ́ale struˇcnˇe naz ́yv ́ame

jen vektorov ́y prostor.

Definice 2.2. Nepr ́azdn ́a podmnoˇzina W vektorov ́eho prostoru (V, +, ·)

se naz ́yv ́a podprostorem V, jestliˇze ∀u,v ∈ W a ∀k ∈ R je u + v ∈ W a

ku ∈ W.

Podprostor je tedy uzavˇren ́y vzhledem ke sˇc ́ıt ́an ́ı i k n ́asoben ́ı re ́aln ́ym

ˇc ́ıslem, a protoˇze v nˇem jsou splnˇeny i ostatn ́ı podm ́ınky z definice

(W ⊂ V ), je s ́am tak ́e vektorov ́ym prostorem vzhledem k operac ́ım de

finovan ́ym na V .

Definice 2.3. Mˇejme mnoˇzinu vektor ̊u M = {u

1

,u

2

,...,u

k

}, M ⊂ V .

Line ́arn ́ım obalem mnoˇziny M nazveme mnoˇzinu

[M] = {z, z =

k

i=1

c

i

u

i

, c

i

∈ R, u

i

∈ M}.

Line ́arn ́ı obal mnoˇziny vektor ̊u je tedy mnoˇzina vˇsech line ́arn ́ıch kom

binac ́ı tˇechto vektor ̊u (tj. vˇsechny souˇcty a n ́asobky). Znaˇc ́ı se tak ́e

L(M), [u

1

,u

2

,...,u

k

].

Vˇeta 2.1. Je-li M ⊂ V, pak [M] je podprostorem V .

Jestliˇze pro nˇejakou mnoˇzinu M = {u

1

,u

2

,...,u

k

} plat ́ı, ˇze [M] = V ,

pak ˇr ́ık ́ame, ˇze M je mnoˇzinou gener ́ator ̊u prostoru V (M generuje V ,

vektory z M jsou urˇcuj ́ıc ́ı skupinou prostoru V ).

Vˇeta 2.2. (Steinitzova, o v ́ymˇenˇe) Mˇejme vektorov ́y prostor V a

jeho mnoˇzinu gener ́ator ̊u {u

1

,u

2

,...,u

n

}. Jsou-li vektory v

1

,v

2

,...,v

k

18


line ́arnˇe nez ́avisl ́e, pak je k ≤ n a pˇri vhodn ́em oˇc ́ıslov ́an ́ı je mnoˇzina

{v

1

,...,v

k

,u

k+1

,...,u

n

} tak ́e mnoˇzinou gener ́ator ̊u prostoru V .

B ́aze a dimenze vektorov ́eho prostoru

Vlastnost line ́arn ́ı z ́avislosti ˇci nez ́avislosti vektor ̊u lze definovat v libo

voln ́em vektorov ́em prostoru analogicky k definici 1.3.

Definice 2.4. Vektory u

1

,u

2

,...,u

k

, kde u

i

∈ V, se naz ́yvaj ́ı line ́arnˇe

z ́avisl ́e, jestliˇze existuj ́ı ˇc ́ısla c

1

,c

2

,...,c

k

, ˇze

k

i=1

c

i

u

i

= 0 ∧ ∃c

i

6= 0.

V opaˇcn ́em pˇr ́ıpadˇe se vektory naz ́yvaj ́ı line ́arnˇe nez ́avisl ́e.

Definice 2.5. Mnoˇzina vektor ̊u M = {u

1

,u

2

,...,u

n

}, M ⊂ V, se

naz ́yv ́a b ́aze vektorov ́eho prostoru V, jestliˇze plat ́ı:

a) vektory u

1

,u

2

,...,u

n

jsou navz ́ajem line ́arnˇe nez ́avisl ́e,

b) [M] = V.

B ́azi vektorov ́eho prostoru si m ̊uˇzeme pˇredstavit jako

nejmenˇs ́ı“

mnoˇzinu (line ́arnˇe nez ́avisl ́ych) vektor ̊u, kter ́a tento prostor generuje. Ve

V

n

je b ́az ́ı napˇr. mnoˇzina M = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)}.

Tato b ́aze, obsahuj ́ıc ́ı jednotkov ́e vektory, se naz ́yv ́a b ́aze kanonick ́a (t ́eˇz

standardn ́ı).

Definice 2.6. M ́a-li b ́aze M koneˇcn ́y poˇcet prvk ̊u, pak se poˇcet prvk ̊u

b ́aze M naz ́yv ́a dimenze (hodnost) vektorov ́eho prostoru V a prostor V

se naz ́yv ́a koneˇcnˇerozmˇern ́y.

Znaˇcen ́ı: dim V , h(V ).

Je dim V

n

= n, tj. dim V

2

= 2 atd. Pro

nejmenˇs ́ı“ vektorov ́y prostor

V = {o} je dim V = 0. Je-li W podprostorem V, pak dim W ≤ dim V .

19


Vˇeta 2.3. Mˇejme vektorov ́y prostor V , dim V = n. Mnoˇzina M je b ́az ́ı

prostoru V, pr ́avˇe kdyˇz lze kaˇzd ́y vektor z ∈ V vyj ́adˇrit jednoznaˇcn ́ym

zp ̊usobem jako line ́arn ́ı kombinaci vektor ̊u z b ́aze.

Koeficienty t ́eto line ́arn ́ı kombinace naz ́yv ́ame souˇradnice vektoru

z vzhledem k b ́azi M.

Vˇeta 2.4. Mˇejme vektorov ́y prostor V, dim V = n. Pak plat ́ı:

a) Kaˇzd ́a b ́aze prostoru V m ́a pr ́avˇe n prvk ̊u.

b) Kaˇzd ́a skupina n line ́arnˇe nez ́avisl ́ych vektor ̊u z V je b ́az ́ı prostoru V.

c) Kaˇzd ́a skupina line ́arnˇe nez ́avisl ́ych vektor ̊u z V m ́a nejv ́yˇse n prvk ̊u.

d) Kaˇzdou skupinu k line ́arnˇe nez ́avisl ́ych vektor ̊u z V, k < n, lze doplnit

na b ́azi V.

Normovan ́y vektorov ́y prostor

V obecn ́em vektorov ́em prostoru m ̊uˇzeme opˇet zav ́est pojem skal ́arn ́ı

souˇcin vektor ̊u, a to pomoc ́ı zobrazen ́ı:

Definice 2.7. Mˇejme vektorov ́y prostor V. Zobrazen ́ı V × V → R,

kter ́e dvojici vektor ̊u u,v ∈ V pˇriˇrad ́ı ˇc ́ıslo uv, nazveme skal ́arn ́ı souˇcin,

jestliˇze plat ́ı:

a) ∀u ∈ V (uu ≥ 0) ∧ (uu = 0 ⇔ u = o),

b) ∀u,v ∈ V uv = vu,

c) ∀u,v ∈ V, ∀k ∈ R k(uv) = (ku)v,

d) ∀u,v,z ∈ V (u + v)z = uz + vz.

Analogicky jako pro aritmetick ́e vektory se v prostoru V zav ́ad ́ı t ́eˇz

ortogonalita vektor ̊u a eukleidovsk ́a norma. Vektorov ́y prostor se

zavedenou normou se naz ́yv ́a normovan ́y vektorov ́y prostor.

B ́aze M prostoru V , ve kter ́e jsou kaˇzd ́e dva vektory navz ́ajem

20


ortogon ́aln ́ı, se naz ́yv ́a ortogon ́aln ́ı b ́aze. Ve V

n

je ortogon ́aln ́ı b ́az ́ı napˇr.

b ́aze kanonick ́a.

ˇ

Reˇsen ́e pˇr ́ıklady

Pˇr ́ıklad 2.1. Zjistˇete a zd ̊uvodnˇete, zda uveden ́e ˇc ́ıseln ́e mnoˇziny s operacemi sˇc ́ıt ́an ́ı

ˇc ́ısel a n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem tvoˇr ́ı vektorov ́y prostor:

a) mnoˇzina pˇrirozen ́ych ˇc ́ısel N, b) mnoˇzina cel ́ych ˇc ́ısel Z, c) mnoˇzina re ́aln ́ych ˇc ́ısel R. Postup: a) Mnoˇzina N je uzavˇren ́a v ̊uˇci sˇc ́ıt ́an ́ı, ale nen ́ı uzavˇren ́a v ̊uˇci n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem (napˇr. pro n ∈ N: −2n /∈ N), tak ́e nem ́a nulov ́y ani opaˇcn ́e prvky. Mnoˇzina N tedy vektorov ́ym prostorem nen ́ı. b) Mnoˇzina Z je uzavˇren ́a v ̊uˇci sˇc ́ıt ́an ́ı a m ́a nulov ́y i opaˇcn ́e prvky, ale opˇet nen ́ı uzavˇren ́a v ̊uˇci n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem (napˇr. pro 5 ∈ Z: 5 ·

2

3

/∈ Z). Mnoˇzina Z vektorov ́ym prostorem nen ́ı.

c) Mnoˇzina R je uzavˇren ́a v ̊uˇci sˇc ́ıt ́an ́ı i v ̊uˇci n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem, obsahuje nulov ́y prvek 0, kaˇzd ́e ˇc ́ıslo m ́a opaˇcn ́y prvek (∀a ∈ R je −a ∈ R) a re ́aln ́a ˇc ́ısla splˇnuj ́ı i vˇsechny dalˇs ́ı podm ́ınky z definice. Proto mnoˇzina re ́aln ́ych ˇc ́ısel tvoˇr ́ı vektorov ́y prostor. Lze zapsat: R = V

1

.

Pˇr ́ıklad 2.2. Zjistˇete, zda uveden ́e mnoˇziny jsou podprostorem prostoru V

2

:

a) A = {(1,a); a ∈ R}, b) B = {(b, 0); b ∈ R}. Postup: a) Mnoˇzina A je nepr ́azdnou podmnoˇzinou V

2

, ale nen ́ı uzavˇren ́a ani v ̊uˇci

sˇc ́ıt ́an ́ı, ani v ̊uˇci n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem:

21


– napˇr.: (1, 3) + (1, 4) = (2, 7), (2, 7) /∈ A,

– napˇr.: 5(1, 3) = (5, 15), (5, 15) /∈ A.

b) Mnoˇzina B je nepr ́azdnou podmnoˇzinou V

2

. Ovˇeˇr ́ıme pro ni, zda je

uzavˇren ́a v ̊uˇci sˇc ́ıt ́an ́ı i n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem:

– pro b

1

,b

2

∈ R : (b

1

, 0) + (b

2

, 0) = (b

1

+ b

2

, 0) ∈ B,

– pro k ∈ R,b

1

∈ R : k(b

1

, 0) = (kb

1

, 0) ∈ B.

Mnoˇzina B je uzavˇren ́a v ̊uˇci obˇema operac ́ım a je tedy podprostorem

vektorov ́eho prostoru V

2

.

Pˇr ́ıklad 2.3.

Rozhodnˇete, jestli je mnoˇzina S = {(a,a,a,a); a ∈ R} podprostorem

prostoru V

4

.

Postup: Mnoˇzina S obsahuje pouze vektory, kter ́e maj ́ı vˇsechny sloˇzky

stejn ́e. Je nepr ́azdn ́a a je S ⊂ V

4

. Staˇc ́ı ovˇeˇrit, ˇze je uzavˇren ́a v ̊uˇci sˇc ́ıt ́an ́ı

a n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem:

– pro a,b ∈ R : (a,a,a,a) + (b,b,b,b) = (a + b,a + b,a + b,a + b) ∈ S,

– pro k ∈ R,a ∈ R : k(a,a,a,a) = (ka,ka,ka,ka) ∈ S.

Mnoˇzina S je uzavˇren ́a v ̊uˇci obˇema operac ́ım, je tedy podprostorem vek

torov ́eho prostoru V

4

.

Pˇr ́ıklad 2.4.

Zjistˇete a zd ̊uvodnˇete, zda n ́asleduj ́ıc ́ı mnoˇziny funkc ́ı s obvykl ́ymi

funkˇcn ́ımi operacemi jsou vektorov ́ym prostorem:

a) F

J

– mnoˇzina vˇsech funkc ́ı definovan ́ych na intervalu J,

b) K

J

– mnoˇzina vˇsech funkc ́ı kladn ́ych na intervalu J,

c) C

J

– mnoˇzina vˇsech funkc ́ı spojit ́ych na intervalu J.

Je nˇekter ́a podprostorem jin ́eho prostoru?

Postup:

a) Mnoˇzina F

J

vektorov ́ym prostorem je, protoˇze souˇcet dvou funkc ́ı

i re ́aln ́y n ́asobek jsou opˇet funkce definovan ́e na J. Nulov ́ym prv

kem je konstantn ́ı nulov ́a funkce a jsou splnˇeny i ostatn ́ı podm ́ınky

22


z definice vektorov ́eho prostoru. Napˇr.: ∀f,g ∈ F

J

: f +g = g+f, protoˇze

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (f + g)(x).

b) Mnoˇzina K

J

vektorov ́ym prostorem nen ́ı, protoˇze nen ́ı uzavˇren ́a vzhle

dem k n ́asoben ́ı re ́aln ́ym ˇc ́ıslem, tak ́e neobsahuje nulov ́y ani opaˇcn ́e

prvky.

c) Mnoˇzina spojit ́ych funkc ́ı C

J

vektorov ́ym prostorem je: souˇcet dvou

spojit ́ych funkc ́ı i re ́aln ́y n ́asobek jsou opˇet funkce spojit ́e na J, nulov ́a

funkce je spojit ́a (tj. nulov ́y prvek do C

J

n ́aleˇz ́ı) a jsou splnˇeny i ostatn ́ı

podm ́ınky z definice vektorov ́eho prostoru.

Mnoˇzina spojit ́ych funkc ́ı C

J

je podprostorem prostoru F

J

.

Pˇr ́ıklad 2.5.

Zjistˇete a zd ̊uvodnˇete, zda n ́asleduj ́ıc ́ı mnoˇziny polynom ̊u definovan ́ych

na R s obvykl ́ymi funkˇcn ́ımi operacemi jsou vektorov ́ym prostorem:

a) P – mnoˇzina vˇsech polynom ̊u,

b) P

n

– mnoˇzina vˇsech polynom ̊u nejv ́yˇse n-t ́eho ˇr ́adu, n ∈ N,n pevn ́e,

c) Q

n

– mnoˇzina vˇsech polynom ̊u pr ́avˇe n-t ́eho ˇr ́adu, n ∈ N,n pevn ́e.

Je nˇekter ́a podprostorem jin ́eho zn ́am ́eho prostoru?

Postup:

a) Mnoˇzina P vektorov ́ym prostorem je, protoˇze souˇcet dvou polynom ̊u

i re ́aln ́y n ́asobek jsou opˇet polynomy. Nulov ́ym prvkem je nulov ́a

funkce (nulov ́y polynom), opaˇcn ́ymi prvky jsou polynomy s opaˇcn ́ymi

znam ́enky a jsou splnˇeny i ostatn ́ı podm ́ınky z definice vektorov ́eho

prostoru.

b) Mnoˇzina P

n

je vektorov ́ym prostorem tak ́e, protoˇze sˇc ́ıt ́an ́ım a

n ́asoben ́ım re ́aln ́ym ˇc ́ıslem se stupeˇn polynomu nezv ́yˇs ́ı. Podm ́ınky

z definice vektorov ́eho prostoru jsou splnˇeny.

c) Mnoˇzina Q

n

vektorov ́ym prostorem nen ́ı, nebot

nen ́ı uzavˇren ́a

vzhledem ke sˇc ́ıt ́an ́ı – souˇcet dvou polynom ̊u m ̊uˇze b ́yt niˇzˇs ́ıho ˇr ́adu neˇz

n, napˇr. (x

n

+ 5) + (−x

n

).

23


Toto je pouze náhled elektronické knihy. Zakoupení její plné verze je možné v

elektronickém obchodě společnosti eReading.




       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz – online prodej | ABZ Knihy, a.s.