E-kniha: Průvodce základními statistickými metodami – Marie Budíková; Maria Králová; Bohumil Maroš

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 4 — #1

i

i

i

i

i

i

RNDr. Marie Bud ́ıkov ́a, Dr.,

Mgr. Maria Kr ́alov ́a, Ph.D.,

Doc. RNDr. Bohumil Maroˇs, CSc.

Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

Vydala Grada Publishing, a.s.

U Pr ̊uhonu 22, 170 00 Praha 7

tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400

www.grada.cz

jako svou 4147. publikaci

Autorsk ́y kolektiv:

RNDr. Marie Bud ́ıkov ́a, Dr. – kapitoly 1, 2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18

Mgr. Maria Kr ́alov ́a, Ph.D. – kapitoly 4, 5, 6, 7, 9, 10

Doc. RNDr. Bohumil Maroˇs, CSc. – kapitoly 11, 12, 19, 20, 21

Odborn ́a recenzentka:

Doc. Ing. Eva Jaroˇsov ́a, CSc.

Vyd ́an ́ı odborn ́e knihy schv ́alila Vˇedeck ́a redakce nakladatelstv ́ı Grada Publishing, a.s.

Odpovˇedn ́y redaktor Petr Somogyi

Sazba Mgr. David Hampel, Ph.D.

Poˇcet stran 272

Prvn ́ı vyd ́an ́ı, Praha 2010

Vytiskly Tisk ́arny Havl ́ıˇck ̊uv Brod, a.s.

Husova ulice 1881, Havl ́ıˇck ̊uv Brod

c⃝ Grada Publishing, a.s., 2010

Cover Photo c⃝ fotobanka allphoto

ISBN 978-80-247-3243-5

Upozornˇen ́ı

Vˇsechna pr ́ava vyhrazena.

ˇ

Z ́adn ́a ˇc ́ast t ́eto publikace nesm ́ı b ́yt reprodukov ́ana a pouˇz ́ıv ́ana v elektro

nick ́e podobˇe, kop ́ırov ́ana a nahr ́av ́ana bez pˇredchoz ́ıho p ́ısemn ́eho souhlasu nakladatele.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 5 — #2

i

i

i

i

i

i

Obsah 5

Obsah

O autorech 9

́

Uvodn ́ı slovo recenzenta 10

Pˇredmluva/Summary 11

́

Uvod 12

1 Z ́akladn ́ı, v ́ybˇerov ́y a datov ́y soubor 13

1.1 Z ́akladn ́ı a v ́ybˇerov ́y soubor, absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost

mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Vlastnosti relativn ́ı ˇcetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Podm ́ınˇen ́a relativn ́ı ˇcetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

ˇ

Cetnostn ́ı nez ́avislost dvou mnoˇzin v dan ́em v ́ybˇerov ́em souboru . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Skal ́arn ́ı a vektorov ́y znak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Datov ́y soubor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Jev a jeho absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Bodov ́e a intervalov ́e rozloˇzen ́ı ˇcetnost ́ı 21

2.1 Jednorozmˇern ́e bodov ́e rozloˇzen ́ı ˇcetnost ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Dvourozmˇern ́e bodov ́e rozloˇzen ́ı ˇcetnost ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Jednorozmˇern ́e intervalov ́e rozloˇzen ́ı ˇcetnost ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Dvourozmˇern ́e intervalov ́e rozloˇzen ́ı ˇcetnost ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Dvourozmˇern ́y teˇckov ́y diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

ˇ

C ́ıseln ́e charakteristiky znak ̊u 39

3.1 Typy znak ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

ˇ

C ́ıseln ́e charakteristiky nomin ́aln ́ıch znak ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3

ˇ

C ́ıseln ́e charakteristiky ordin ́aln ́ıch znak ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4

ˇ

C ́ıseln ́e charakteristiky intervalov ́ych znak ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Charakteristiky pomˇerov ́ych znak ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 V ́aˇzen ́e ˇc ́ıseln ́e charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.7 Poˇcetn ́ı pravidla pro ˇc ́ıseln ́e charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 N ́ahodn ́e jevy a jejich pravdˇepodobnosti 51

4.1 N ́ahodn ́e jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Pravdˇepodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 6 — #3

i

i

i

i

i

i

6 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

5 Stochasticky nez ́avisl ́e jevy a podm ́ınˇen ́a pravdˇepodobnost 59

5.1 Nez ́avisl ́e jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Podm ́ınˇen ́a pravdˇepodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 N ́ahodn ́e veliˇciny 69 7 N ́ahodn ́e vektory 81 8 Vybran ́a rozloˇzen ́ı diskr ́etn ́ıch a spojit ́ych n ́ahodn ́ych veliˇcin 89

8.1 Alternativn ́ı rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.2 Binomick ́e rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3 Geometrick ́e rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.4 Hypergeometrick ́e rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.5 Poissonovo rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.6 Rovnomˇern ́e diskr ́etn ́ı rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.7 Rovnomˇern ́e spojit ́e rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.8 Exponenci ́aln ́ı rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.9 Norm ́aln ́ı rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.10 Dvourozmˇern ́e norm ́aln ́ı rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.11 Pearsonovo rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.12 Studentovo rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.13 Fisherovo-Snedecorovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9

ˇ

C ́ıseln ́e charakteristiky n ́ahodn ́ych veliˇcin 105 10 Slab ́y z ́akon velk ́ych ˇc ́ısel a centr ́aln ́ı limitn ́ı vˇeta 121 11 Z ́akladn ́ı pojmy matematick ́e statistiky 127

11.1 Pojem n ́ahodn ́eho v ́ybˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.2 Pojem statistiky, pˇr ́ıklady d ̊uleˇzit ́ych statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.3 Bodov ́e a intervalov ́e odhady parametr ̊u a parametrick ́ych funkc ́ı . . . . . . . . . . . . 129

11.4 Typy bodov ́ych odhad ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.5 Vlastnosti d ̊uleˇzit ́ych statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11.6 Pojem intervalu spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7 Postup pˇri konstrukci intervalu spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.8

ˇ

S ́ıˇrka intervalu spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.9 V ́yznam testov ́an ́ı statistick ́ych hypot ́ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.10 Statistick ́a hypot ́eza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.11 Test statistick ́e hypot ́ezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.12 Nulov ́a a alternativn ́ı hypot ́eza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.13 Doporuˇcen ́y postup pˇri testov ́an ́ı statistick ́ych hypot ́ez pomoc ́ı kritick ́eho oboru . . . 134

11.14 Chyba 1. a 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11.15 Ilustrace vztahu mezi chybou 1. a 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11.16 Testov ́an ́ı pomoc ́ı intervalu spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11.17 Testov ́an ́ı pomoc ́ı p-hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 12 Grafick ́a anal ́yza a testy normality 141

12.1 Pr ̊ubˇehov ́y diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

12.2 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

12.3 Krabicov ́y diagram (BoxPlot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 7 — #4

i

i

i

i

i

i

Obsah 7

12.4 Motivace pro testov ́an ́ı normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.5 Princip a proveden ́ı test ̊u normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 13

́

Ulohy o jednom a dvou nez ́avisl ́ych n ́ahodn ́ych v ́ybˇerech z norm ́aln ́ıho rozloˇzen ́ı 157

13.1 Rozloˇzen ́ı statistik odvozen ́ych z v ́ybˇerov ́eho pr ̊umˇeru a v ́ybˇerov ́eho rozptylu . . . . . 157

13.2 Intervaly spolehlivosti pro stˇredn ́ı hodnotu a rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

13.3 Typy test ̊u pro parametry norm ́aln ́ıho rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

13.4 N ́ahodn ́y v ́ybˇer z dvourozmˇern ́eho rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

13.5 Rozloˇzen ́ı statistik odvozen ́ych z v ́ybˇerov ́ych pr ̊umˇer ̊u a v ́ybˇerov ́ych rozptyl ̊u . . . . . 163

13.6 Interval spolehlivosti pro rozd ́ıl stˇredn ́ıch hodnot a pod ́ıl rozptyl ̊u . . . . . . . . . . . 163

13.7 Typy test ̊u pro rozd ́ıl stˇredn ́ıch hodnot a pod ́ıl rozptyl ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

13.8 Cohen ̊uv koeficient vˇecn ́eho ́uˇcinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 14

́

Ulohy o jednom a dvou nez ́avisl ́ych n ́ahodn ́ych v ́ybˇerech z alternativn ́ıho rozloˇzen ́ı 171

14.1 Asymptotick ́e rozloˇzen ́ı statistiky odvozen ́e z v ́ybˇerov ́eho

pr ̊umˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

14.2 Asymptotick ́y interval spolehlivosti pro parametr alternativn ́ıho rozloˇzen ́ı . . . . . . . 172

14.3 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o parametru alternativn ́ıho rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . 173

14.4 Asymptotick ́e rozloˇzen ́ı statistiky odvozen ́e ze dvou v ́ybˇerov ́ych pr ̊umˇer ̊u . . . . . . . 175

14.5 Asymptotick ́y interval spolehlivosti pro rozd ́ıl parametr ̊u

dvou alternativn ́ıch rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

14.6 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o rozd ́ılu parametr ̊u dvou alternativn ́ıch rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . 176

14.7 Postup pˇri testov ́an ́ı hypot ́ezy o rozd ́ılu parametr ̊u dvou alternativn ́ıch rozloˇzen ́ı . . . . 176 15 Jednofaktorov ́a anal ́yza rozptylu 181

15.1 Pˇredpoklady a oznaˇcen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15.2 Matematick ́y model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

15.3 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o shodˇe stˇredn ́ıch hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

15.4 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o shodˇe rozptyl ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15.5 Post-hoc (n ́asledn ́e) metody mnohon ́asobn ́eho porovn ́av ́an ́ı . . . . . . . . . . . . . . 185

15.6 Doporuˇcen ́y postup pˇri prov ́adˇen ́ı anal ́yzy rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 16 Neparametrick ́e testy o medi ́anech 193

16.1 Pojem poˇrad ́ı a pr ̊umˇern ́eho poˇrad ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

16.2 Jednov ́ybˇerov ́y a p ́arov ́y znam ́enkov ́y test a jeho asymptotick ́a varianta . . . . . . . . 194

16.3 Jednov ́ybˇerov ́y a p ́arov ́y Wilcoxon ̊uv test a jeho asymptotick ́a varianta . . . . . . . . . 196

16.4 Dvouv ́ybˇerov ́y Wilcoxon ̊uv test a jeho asymptotick ́a

varianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

16.5 Dvouv ́ybˇerov ́y Kolmogorov ̊uv-Smirnov ̊uv test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

16.6 Kruskal ̊uv-Wallis ̊uv test a medi ́anov ́y test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

16.7 Metody mnohon ́asobn ́eho porovn ́av ́an ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 17 Porovn ́an ́ı empirick ́eho a teoretick ́eho rozloˇzen ́ı 205

17.1 Testy dobr ́e shody pro diskr ́etn ́ı a spojit ́e rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

17.2 Jednoduch ́y test exponenci ́aln ́ıho rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

17.3 Jednoduch ́y test Poissonova rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 8 — #5

i

i

i

i

i

i

8 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

18 Anal ́yza z ́avislosti veliˇcin nomin ́aln ́ıho a ordin ́aln ́ıho typu 213

18.1 Kontingenˇcn ́ı tabulka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

18.2 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o nez ́avislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

18.3 Mˇeˇren ́ı s ́ıly z ́avislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

18.4

ˇ

Ctyˇrpoln ́ı kontingenˇcn ́ı tabulka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

18.5 Asymptotick ́y a pˇresn ́y test nez ́avislosti ve ˇctyˇrpoln ́ı tabulce . . . . . . . . . . . . . . 217

18.6 Pod ́ıl ˇsanc ́ı ve ˇctyˇrpoln ́ı kontingenˇcn ́ı tabulce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

18.7 Testov ́an ́ı nez ́avislosti ve ˇctyˇrpoln ́ıch tabulk ́ach pomoc ́ı

pod ́ılu ˇsanc ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

18.8 Spearman ̊uv koeficient poˇradov ́e korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

18.9 Vlastnosti Spearmanova koeficientu poˇradov ́e korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

18.10 Testov ́an ́ı poˇradov ́e nez ́avislosti ordin ́aln ́ıch veliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

18.11 Asymptotick ́e varianty testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 19 Jednoduch ́a korelaˇcn ́ı anal ́yza 225

19.1 Kovariance dvou n ́ahodn ́ych veliˇcin a jej ́ı odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

19.2 Koeficient korelace a jeho odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

19.3 Koeficient korelace dvourozmˇern ́eho norm ́aln ́ıho rozloˇzen ́ı . . . . . . . . . . . . . . 228

19.4 Test hypot ́ezy o nez ́avislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

19.5 Interval spolehlivosti pro koeficient korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

19.6 Porovn ́an ́ı dvou korelaˇcn ́ıch koeficient ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 20

́

Uvod do regresn ́ı anal ́yzy 233

20.1 Zaveden ́ı line ́arn ́ıho modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

20.2 Metoda nejmenˇs ́ıch ˇctverc ̊u pro neopakovan ́a a opakovan ́a mˇeˇren ́ı . . . . . . . . . . . 234

20.3 Interval spolehlivosti pro regresn ́ı parametr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

20.4 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o shodˇe regresn ́ıho parametru s pˇredem dan ́ym ˇc ́ıslem . . . . . . . 236

20.5 Testov ́an ́ı hypot ́ezy o nev ́yznamnosti vˇsech prediktor ̊u v modelu (celkov ́y F-test) . . . 239

20.6 Adekv ́atnost modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

20.7 Interval spolehlivosti pro podm ́ınˇenou stˇredn ́ı hodnotu . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

20.8 Predikˇcn ́ı interval spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

20.9 Anal ́yza rezidu ́ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

20.10 Index determinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 21

ˇ

Casov ́e ˇrady 259

21.1 Pojem ˇcasov ́e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

21.2 Popisn ́e charakteristiky ˇcasov ́e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

21.3 Dynamick ́e charakteristiky ˇcasov ́e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

21.4 Vyhlazen ́ı ˇcasov ́e ˇrady pomoc ́ı klouzav ́ych pr ̊umˇer ̊u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Literatura 269 Rejstˇr ́ık 270

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 9 — #6

i

i

i

i

i

i

O autorech 9

O autorech

RNDr. Marie Bud ́ıkov ́a, Dr.

P ̊usob ́ı jako lektorka

́

Ustavu matematiky a statistiky Pˇr ́ırodovˇedeck ́e

fakulty Masarykovy univerzity v Brnˇe. M ́a dlouholet ́e zkuˇsenosti

s v ́yukou pˇredmˇet ̊u zamˇeˇren ́ych na pravdˇepodobnost a statistiku,

a to nejen pro studenty Pˇr ́ırodovˇedeck ́e fakulty, ale t ́eˇz Ekonomicko

spr ́avn ́ı fakulty, Fakulty informatiky a Fakulty strojn ́ıho inˇzen ́yrstv ́ı

Vysok ́eho uˇcen ́ı technick ́eho v Brnˇe. Od 90. let vyuˇz ́ıv ́a pˇri v ́yuce

statistick ́e programov ́e syst ́emy SPSS a STATISTICA. Specializuje

se na vyuˇzit ́ı statistick ́ych metod v praxi, pˇredevˇs ́ım v klimatologii,

hydrologii, medic ́ınˇe a psychologii. V souˇcasnosti ́uzce spolupra

cuje s brnˇensk ́ymi klimatology, kteˇr ́ı zkoumaj ́ı pol ́arn ́ı klima na sta

nici J. G. Mendela v Antarktidˇe. Je autorkou ˇci spoluautorkou v ́ıce

neˇz 70 vˇedeck ́ych a odborn ́ych ˇcl ́ank ̊u, publikac ́ı a uˇcebn ́ıch text ̊u.

ˇ

Radu let p ̊usob ́ı ve v ́yboru

ˇ

Cesk ́e statistick ́e spoleˇcnosti.

Mgr. Maria Kr ́alov ́a, Ph.D.

V roce 1996 absolvovala Pˇr ́ırodovˇedeckou fakultu MU v Brnˇe, obor

matematika-biologie. Postgradu ́aln ́ı studium ukonˇcila v roce 2003

disertaˇcn ́ı prac ́ı Markovsk ́e modely pozornosti. Ve sv ́e v ́yzkumn ́e

ˇcinnosti se zamˇeˇruje zejm ́ena na stochastick ́e modelov ́an ́ı v psy

chologii, je spoluˇreˇsitelkou V ́yzkumn ́eho z ́amˇeru M

ˇ

SMT

ˇ

CR CEZ:

J22/98:261100009. V pedagogick ́e praxi se vˇenuje pˇredevˇs ́ım

z ́akladn ́ım kurz ̊um pravdˇepodobnosti a matematick ́e statistiky,

p ̊usob ́ı na Ekonomicko-spr ́avn ́ı fakultˇe Masarykovy univerzity

v Brnˇe. Je ˇclenkou

ˇ

Cesk ́e statistick ́e spoleˇcnosti.

Doc. RNDr. Bohumil Maroˇs, CSc.

Jako vysokoˇskolsk ́y uˇcitel p ̊usob ́ı v ́ıce neˇz 45 let na

́

Ustavu mate

matiky Fakulty strojn ́ıho inˇzen ́yrstv ́ı Vysok ́eho uˇcen ́ı technick ́eho

v Brnˇe. Vyuˇcuje zde z ́akladn ́ı i pokroˇcil ́e metody statistick ́eho

pˇr ́ıstupu k ˇreˇsen ́ı probl ́em ̊u. V ́ıce neˇz 30 let se zab ́yv ́a problemati

kou statistick ́eho zpracov ́an ́ı dat a matematick ́eho modelov ́an ́ı pro

ces ̊u.

́

Uspˇeˇsnˇe propaguje metody Design of Experiments nejen ve

v ́yuce, ale i v praxi pro v ́yrobn ́ı podniky ˇci organizace poskytuj ́ıc ́ı

sluˇzby. Je extern ́ım spolupracovn ́ıkem spoleˇcnost ́ı SC&C Partner,

kter ́a se specializuje na zlepˇsov ́an ́ı jakosti v ́yroby ˇci sluˇzeb po

moc ́ı metody Six Sigma. Je autorem ˇci spoluautorem v ́ıce neˇz 60

vˇedeck ́ych publikac ́ı, 8 v ́yzkumn ́ych zpr ́av, 6 knih, 6 skript. Je

ˇclenem

ˇ

Cesk ́e statistick ́e spoleˇcnosti.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 10 — #7

i

i

i

i

i

i

10 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

́

Uvodn ́ı slovo recenzenta

V knize jsou shrnuty z ́akladn ́ı vzorce a postupy z popisn ́e statistiky, poˇctu pravdˇepodob

nosti a matematick ́e statistiky. Modern ́ı pojet ́ı statistiky pˇredpokl ́ad ́a zpracov ́av ́an ́ı v ́ybˇero

v ́ych ˇsetˇren ́ı nebo experiment ́aln ́ıch dat, a proto je vˇetˇs ́ı pozornost vˇenov ́ana poˇctu pravdˇe

podobnosti a matematick ́e statistice, kter ́a z nˇeho vych ́az ́ı. Kniha obsahuje 21 kapitol, kter ́e

je moˇzn ́e rozdˇelit na tˇri ˇc ́asti. Prvn ́ı tˇri kapitoly se zab ́yvaj ́ı pˇrev ́aˇznˇe popisnou statistikou, ve

ˇctvrt ́e aˇz des ́at ́e kapitole jsou vysvˇetleny z ́aklady poˇctu pravdˇepodobnosti a zb ́yvaj ́ıc ́ıch je

den ́act kapitol je vˇenov ́ano matematick ́e statistice. K ilustraci postup ̊u slouˇz ́ı ˇreˇsen ́e pˇr ́ıklady,

pro procviˇcen ́ı l ́atky jsou zaˇrazeny dalˇs ́ı ́ulohy s uveden ́ym ˇreˇsen ́ım.

ˇ

Rada pˇr ́ıklad ̊u obsahuje

n ́avod k obsluze statistick ́eho syst ́emu STATISTICA, v nˇekter ́ych pˇr ́ıpadech tak ́e syst ́emu

MINITAB.

I kdyˇz lze zjednoduˇsenˇe ˇr ́ıci, ˇze vˇetˇsina metod se vyuˇcuje v z ́akladn ́ıch kurzech sta

tistiky na r ̊uzn ́ych vysok ́ych ˇskol ́ach nematematick ́eho zamˇeˇren ́ı, pˇri bliˇzˇs ́ım prostudov ́an ́ı

je zˇrejm ́e, ˇze zvl ́aˇstˇe poˇcet zaˇrazen ́ych statistick ́ych test ̊u spoleˇcn ́y z ́aklad pˇresahuje. Jako

pˇr ́ıklad test ̊u, kter ́e neb ́yvaj ́ı zcela bˇeˇznˇe v z ́akladn ́ı literatuˇre, m ̊uˇzeme uv ́est metody mno

hon ́asobn ́eho porovn ́av ́an ́ı, speci ́aln ́ı testy normality nebo shody s exponenci ́aln ́ım ˇci Poisso

nov ́ym rozdˇelen ́ım, testy pro ˇctyˇrpoln ́ı tabulky nebo nˇekter ́e testy o korelaˇcn ́ıch koeficientech.

Vˇeˇr ́ım, ˇze Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami vyuˇzij ́ı nejen studenti Ekonomic

ko-spr ́avn ́ı fakulty Masarykovy univerzity, jimˇz je kniha urˇcena pˇredevˇs ́ım, ale i ˇrada dalˇs ́ıch

uˇzivatel ̊u statistick ́ych metod, a to zvl ́aˇstˇe ti, kteˇr ́ı pracuj ́ı s nˇekter ́ym ze statistick ́ych syst ́em ̊u

STATISTICA nebo MINITAB.

doc. Ing. Eva Jaroˇsov ́a, CSc.

Katedra statistiky a pravdˇepodobnosti

Fakulta informatiky a statistiky

Vysok ́a ˇskola ekonomick ́a v Praze

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 11 — #8

i

i

i

i

i

i

Pˇredmluva/Summary 11

Pˇredmluva Uˇcebnice

”

Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami“ je prim ́arnˇe urˇcena posluchaˇc ̊um

Ekonomicko-spr ́avn ́ı fakulty Masarykovy univerzity v Brnˇe a m ́a slouˇzit jako z ́akladn ́ı studijn ́ı literatura pˇredmˇet ̊u Statistika 1 a Statistika 2. Pouˇcen ́ı v n ́ı vˇsak samozˇrejmˇe najdou i posluchaˇci jin ́ych studijn ́ıch zamˇeˇren ́ı ˇci uˇzivatel ́e statistiky v praxi, kteˇr ́ı potˇrebuj ́ı prov ́adˇet anal ́yzu dat.

Autoˇri pˇredpokl ́adaj ́ı, ˇze ˇcten ́aˇr je obezn ́amen se z ́aklady maticov ́eho poˇctu, diferenci ́aln ́ıho a integr ́aln ́ıho poˇctu a m ́a zkuˇsenosti s pouˇz ́ıv ́an ́ım tabulkov ́eho kalkul ́atoru.

Knihu tvoˇr ́ı 21 kapitol, z nichˇz prvn ́ı tˇri se zab ́yvaj ́ı popisnou statistikou, dalˇs ́ıch sedm poˇctem pravdˇepodobnosti a zb ́yvaj ́ıc ́ıch jeden ́act pak matematickou statistikou. Partie, kter ́e se t ́ykaj ́ı popisn ́e statistiky a poˇctu pravdˇepodobnosti, jsou prob ́ır ́any v pˇredmˇetu Statistika 1, matematick ́a statistika pak tvoˇr ́ı n ́aplˇn pˇredmˇetu Statistika 2.

Kaˇzd ́a z kapitol zav ́ad ́ı z ́akladn ́ı pojmy statistick ́e ˇci pravdˇepodobnostn ́ı teorie a objasˇnuje je na praktick ́ych pˇr ́ıkladech. Kapitoly z popisn ́e a matematick ́e statistiky rovnˇeˇz obsahuj ́ı n ́avody na ˇreˇsen ́ı pˇr ́ıklad ̊u pomoc ́ı statistick ́eho softwaru, konkr ́etnˇe pomoc ́ı syst ́emu STATISTICA, v nˇekter ́ych kapitol ́ach je rovnˇeˇz pouˇzit syst ́em MINITAB, kter ́y se na nˇekter ́ych vysok ́ych ˇskol ́ach technick ́eho zamˇeˇren ́ı pouˇz ́ıv ́a jako z ́akladn ́ı statistick ́y softwarov ́y n ́astroj. V ́ysledn ́e tabulky a grafy jsou podrobnˇe komentov ́any. Sv ́e znalosti si m ̊uˇze ˇcten ́aˇr ovˇeˇrit na pˇr ́ıkladech urˇcen ́ych k samostatn ́emu ˇreˇsen ́ı. Datov ́e soubory k jednotliv ́ym pˇr ́ıklad ̊um a statistick ́e tabulky najdete na adrese www.math.muni.cz/∼budikova.

Autoˇri si jsou vˇedomi toho, ˇze v jedin ́e nepˇr ́ıliˇs rozs ́ahl ́e uˇcebnici nelze vysvˇetlit vˇsechny d ̊uleˇzit ́e a v praxi ˇcasto pouˇz ́ıvan ́e statistick ́e metody, ani se podrobnˇeji zab ́yvat jejich zaj ́ımav ́ymi aspekty. Proto uvaˇzuj ́ı o vytvoˇren ́ı druh ́eho d ́ılu t ́eto uˇcebnice, kter ́y by slouˇzil jako pr ̊uvodce pokroˇcilejˇs ́ımi statistick ́ymi metodami. Summary This easy-to-follow publication containing many examples and case studies aims primarily at students of economics and professionals in economics and engineering. The readers will familiarize themselves with essential statistical techniques and practical applications of statistics. The book is divided into three parts. The first part deals with descriptive statistics, the second one treats the basic concepts of the probability theory and the third part looks at the selected methods of inductive statistics.

Each topic is introduced by a brief theoretical introduction followed by sample exercises and a set of tasks for self-study. It is sample tasks from economic and technical practice accompanied by the answer key that are the focal point of this publication. Careful attention is paid to verification of underlying assumptions of statistical techniques and to detailed interpretation of results. This book demonstrates solutions to problems using the STATISTICA (version 9) and MINITAB (version 15) computer software. Task solutions are supplemented by both detailed comments on computer outputs and instructions how to reach them.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 12 — #9

i

i

i

i

i

i

12 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

́

Uvod

Teorie pravdˇepodobnosti

Teorie pravdˇepodobnosti je matematick ́a discipl ́ına (budovan ́a axiomaticky), kter ́a se zab ́yv ́a

studiem z ́akonitost ́ı v n ́ahodn ́ych pokusech a jejich modelov ́an ́ım matematick ́ymi prostˇredky.

Pod pojmem n ́ahoda rozum ́ıme p ̊usoben ́ı faktor ̊u, kter ́e se ˇzivelnˇe mˇen ́ı pˇri r ̊uzn ́ych prove

den ́ıch t ́ehoˇz pokusu. (Je to

”

matematika n ́ahody“.)

Popisn ́a statistika

Popisn ́a statistika je discipl ́ına, kter ́a popisuje a sumarizuje informace obsaˇzen ́e ve velk ́em

mnoˇzstv ́ı dat pomoc ́ı tabulek, graf ̊u, funkcion ́aln ́ıch a ˇc ́ıseln ́ych charakteristik.

ˇ

Cin ́ı tak po

moc ́ı z ́akladn ́ıch matematick ́ych operac ́ı. C ́ılem je zpˇrehlednit informace

”

ukryt ́e“ v datov ́ych

souborech.

Matematick ́a statistika

Matematick ́a statistika je vˇeda, kter ́a buduje metody pro anal ́yzu dat a vyuˇz ́ıv ́a pˇri tom princip

statistick ́e indukce. (Informace z ́ıskan ́e z n ́ahodn ́eho v ́ybˇeru zobecˇnuje na z ́akladn ́ı soubor.)

Jej ́ı souˇc ́ast ́ı je teorie odhadu, testov ́an ́ı statistick ́ych hypot ́ez, statistick ́a predikce.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 13 — #10

i

i

i

i

i

i

Z ́akladn ́ı, v ́ybˇerov ́y a datov ́y soubor 13

Kapitola 1

Z ́akladn ́ı, v ́yb ˇerov ́y a datov ́y soubor

Pˇredmˇetem statistick ́eho z ́ajmu nen ́ı jednotliv ́y objekt, n ́ybrˇz soubor objekt ̊u, kter ́e tvoˇr ́ı

z ́akladn ́ı soubor. Zpravidla nen ́ı moˇzn ́e vyˇsetˇrovat vˇsechny objekty, ale jenom urˇcit ́y ome

zen ́y poˇcet objekt ̊u, kter ́e povaˇzujeme za v ́ybˇerov ́y soubor.

Prvky z ́akladn ́ıho souboru, kter ́e vykazuj ́ı urˇcitou spoleˇcnou vlastnost, tvoˇr ́ı mnoˇzinu.

Statistik zkoum ́a absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost prvk ̊u t ́eto mnoˇziny v dan ́em v ́ybˇerov ́em sou

boru.

Zaj ́ımaj ́ı-li n ́as ve v ́ybˇerov ́em souboru dvˇe mnoˇziny, m ̊uˇzeme zkoumat v ́yskyt objekt ̊u

z jedn ́e mnoˇziny mezi objekty poch ́azej ́ıc ́ımi z druh ́e mnoˇziny. T ́ım dosp ́ıv ́ame k pojmu

podm ́ınˇen ́e relativn ́ı ˇcetnosti. Rovnˇeˇz lze ovˇeˇrovat ˇcetnostn ́ı nez ́avislost tˇechto dvou mnoˇzin

v dan ́em v ́ybˇerov ́em souboru.

ˇ

Cetnostn ́ı nez ́avislost vlastnˇe znamen ́a, ˇze informace, kter ́e

m ́ame o p ̊uvodu objektu z jedn ́e mnoˇziny, nijak nemˇen ́ı naˇse oˇcek ́av ́an ́ı o p ̊uvodu objektu

z druh ́e mnoˇziny.

Kaˇzd ́emu objektu z ́akladn ́ıho souboru lze pomoc ́ı funkce zvan ́e znak pˇriˇradit ˇc ́ıslo (nebo

i v ́ıce ˇc ́ısel). Pod tˇemito ˇc ́ısly se mohou skr ́yvat i slovn ́ı popisy, napˇr. hodnota 1 pro znak

”

rodinn ́y stav“ znamen ́a

”

svobodn ́y“, hodnota 2

”

ˇzenat ́y“ apod. Pokud hodnoty znak ̊u pro

objekty dan ́eho v ́ybˇerov ́eho souboru uspoˇr ́ad ́ame do matice tak, ˇze ˇr ́adky odpov ́ıdaj ́ı jednot

liv ́ym objekt ̊um a sloupce znak ̊um, dostaneme datov ́y soubor. Libovoln ́y sloupec t ́eto matice

tvoˇr ́ı jednorozmˇern ́y datov ́y soubor, kter ́y m ̊uˇzeme uspoˇr ́adat podle velikosti a vytvoˇrit tak

uspoˇr ́adan ́y datov ́y soubor, nebo z nˇej lze z ́ıskat vektor variant.

Jevem rozum ́ıme tu skuteˇcnost, ˇze znak nabyl hodnoty z nˇejak ́e ˇc ́ıseln ́e mnoˇziny. M ̊uˇzeme

zkoumat absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost jevu v dan ́em v ́ybˇerov ́em souboru.

1.1 Z ́akladn ́ı a v ́ybˇerov ́y soubor, absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost

mnoˇziny

Z ́akladn ́ım souborem rozum ́ıme libovolnou nepr ́azdnou mnoˇzinu 퐸. Prvky mnoˇziny 퐸 zna

ˇc ́ıme 휀 a naz ́yv ́ame je objekty. Libovolnou nepr ́azdnou podmnoˇzinu {휀

1

,...,휀

푛

} z ́akladn ́ıho

souboru 퐸 naz ́yv ́ame v ́ybˇerov ́y soubor rozsahu 푛. Je-li mnoˇzina 퐺 ⊆ 퐸, pak symbolem

푁(퐺) rozum ́ıme absolutn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺 ve v ́ybˇerov ́em souboru, tj. poˇcet tˇech objekt ̊u

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 14 — #11

i

i

i

i

i

i

14 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

mnoˇziny 퐺, kter ́e patˇr ́ı do v ́ybˇerov ́eho souboru. Relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺 ve v ́ybˇerov ́em

souboru zavedeme vztahem 푝(퐺) =

푁(퐺)

푛

.

V ́ybˇerov ́y soubor by mˇel b ́yt reprezentativn ́ım obrazem z ́akladn ́ıho souboru. Toho lze

doc ́ılit napˇr. tak, ˇze objekty ze z ́akladn ́ıho souboru vyb ́ır ́ame do v ́ybˇerov ́eho souboru lo

sov ́an ́ım. V ́ybˇerov ́y soubor je ilustrov ́an na obr ́azku 1.1.

ε ‒ objekt

výběrový soubor

Ε ‒ základní soubor

množina G

Obr ́azek 1.1: Ilustrace v ́ybˇerov ́eho souboru.

Pˇr ́ıklad 1.1. Z ́akladn ́ım souborem 퐸 je mnoˇzina vˇsech ˇz ́ak ̊u 9. roˇcn ́ık ̊u z ́akladn ́ıch ˇskol.

Mnoˇzina 퐺

1

je tvoˇrena tˇemi ˇz ́aky, kteˇr ́ı v pololet ́ı 9. tˇr ́ıdy uspˇeli v pˇredmˇetu fyzika a mnoˇzina

퐺

2

obsahuje ty ˇz ́aky, kteˇr ́ı v pololet ́ı 9. tˇr ́ıdy uspˇeli v pˇredmˇetu chemie. Ze z ́akladn ́ıho souboru

bylo n ́ahodnˇe vybr ́ano 30 ˇz ́ak ̊u, kteˇr ́ı tvoˇr ́ı v ́ybˇerov ́y soubor {휀

1

,...,휀

30

}. Z tˇechto 30 ˇz ́ak ̊u

28 uspˇelo ve fyzice, 27 v chemii a 25 v obou pˇredmˇetech. Zapiˇste absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnosti

ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych ve fyzice, v chemii a oboustrannˇe ́uspˇeˇsn ́ych ˇz ́ak ̊u.

ˇ

Reˇsen ́ı

Spoˇcetli jsme 푁(퐺

1

) = 28, 푁(퐺

2

) = 27, 푁(퐺

1

∩ 퐺

2

) = 25, 푛 = 30, 푝(퐺

1

) =

28

30

= 0,93,

푝(퐺

2

) =

27

30

= 0,9, 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) =

25

30

= 0,83. Vid ́ıme, ˇze ve v ́ybˇerov ́em souboru je 93,3 %

ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych ve fyzice, 90 % v chemii a oboustrannˇe ́uspˇeˇsn ́ych ˇz ́ak ̊u je 83,3 %. □

1.2 Vlastnosti relativn ́ı ˇcetnosti

Relativn ́ı ˇcetnost m ́a n ́asleduj ́ıc ́ıch 12 vlastnost ́ı, kter ́e jsou obdobn ́e vlastnostem procent.

1. 푝(∅) = 0,

2. 푝(퐺) ≥ 0 (nez ́apornost),

3. 푝(퐺

1

∪ 퐺

2

) + 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) = 푝(퐺

1

) + 푝(퐺

2

),

4. 1 + 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) ≥ 푝(퐺

1

) + 푝(퐺

2

),

5. 푝(퐺

1

∪ 퐺

2

) ≤ 푝(퐺

1

) + 푝(퐺

2

) (subaditivita),

6. 퐺

1

∩ 퐺

2

= ∅⇒ 푝(퐺

1

∪ 퐺

2

) = 푝(퐺

1

) + 푝(퐺

2

) (aditivita),

7. 푝(퐺

2

∖퐺

1

) = 푝(퐺

2

) − 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

),

8. 퐺

1

⊆ 퐺

2

⇒ 푝(퐺

2

∖퐺

1

) = 푝(퐺

2

) − 푝(퐺

1

) (subtraktivita),

9. 퐺

1

⊆ 퐺

2

⇒ 푝(퐺

1

) ≤ 푝(퐺

2

) (monotonie),

10. 푝(퐸) = 1 (normovanost),

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 15 — #12

i

i

i

i

i

i

Z ́akladn ́ı, v ́ybˇerov ́y a datov ́y soubor 15

11. 푝(퐺) + 푝(퐺

′

) = 1 (komplementarita),

12. 푝(퐺) ≤ 1.

Pokud se v dan ́em z ́akladn ́ım souboru zaj ́ım ́ame o dvˇe podmnoˇziny objekt ̊u, m ̊uˇzeme zav ́est

pojem podm ́ınˇen ́e relativn ́ı ˇcetnosti jedn ́e podmnoˇziny v dan ́em v ́ybˇerov ́em souboru za pˇred

pokladu, ˇze objekt poch ́az ́ı z druh ́e podmnoˇziny. V pˇr ́ıkladu 1.2 vypoˇcteme podm ́ınˇen ́e rela

tivn ́ı ˇcetnosti ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych ve fyzice mezi ˇz ́aky ́uspˇeˇsn ́ymi v chemii a naopak.

1.3 Podm ́ınˇen ́a relativn ́ı ˇcetnost

Necht

’

퐸 je z ́akladn ́ı soubor, 퐺

1

, 퐺

2

jeho podmnoˇziny, {휀

1

,...,휀

푛

} v ́ybˇerov ́y soubor. Pod

m ́ınˇen ́a relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺

1

ve v ́ybˇerov ́em souboru za podm ́ınky 퐺

2

je zavedena

vztahem

푝(퐺

1

∣ 퐺

2

) =

푁(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푁(퐺

2

)

=

푝(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푝(퐺

2

)

a podm ́ınˇen ́a relativn ́ı ˇcetnost 퐺

2

ve v ́ybˇerov ́em souboru za podm ́ınky 퐺

1

vztahem

푝(퐺

2

∣ 퐺

1

) =

푁(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푁(퐺

1

)

=

푝(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푝(퐺

1

)

.

Pˇr ́ıklad 1.2. Pro ́udaje z pˇr ́ıkladu 1.1 vypoˇctˇete podm ́ınˇenou relativn ́ı ˇcetnost ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych

ve fyzice mezi ˇz ́aky ́uspˇeˇsn ́ymi v chemii a podm ́ınˇenou relativn ́ı ˇcetnost ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych

v chemii mezi ˇz ́aky ́uspˇeˇsn ́ymi ve fyzice.

ˇ

Reˇsen ́ı

Spoˇcetli jsme

푝(퐺

1

∣ 퐺

2

) =

푁(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푁(퐺

2

)

=

25

27

= 0,926.

Znamen ́a to, ˇze 92,6 % tˇech ˇz ́ak ̊u, kteˇr ́ı byli ́uspˇeˇsn ́ı v chemii, uspˇelo i ve fyzice. D ́ale jsme

spoˇcetli

푝(퐺

2

∣ 퐺

1

) =

푁(퐺

1

∩ 퐺

2

)

푁(퐺

1

)

=

25

28

= 0,893,

coˇz znamen ́a, ˇze 89,3 % tˇech ˇz ́ak ̊u, kteˇr ́ı byli ́uspˇeˇsn ́ı ve fyzice, uspˇelo i v chemii.

Obvykle se u ˇz ́ak ̊u sdruˇzuje ́uspˇech ve fyzice s ́uspˇechem v chemii a podobnˇe ne ́uspˇech

ve fyzice s ne ́uspˇechem v chemii, nebot

’

osobn ́ı nad ́an ́ı a schopnosti p ̊usob ́ı v tˇechto dvou

pˇr ́ırodovˇedn ́ych pˇredmˇetech stejn ́ym smˇerem. □

V jak ́e situaci budeme hovoˇrit o ˇcetnostn ́ı nez ́avislosti obou ́uspˇech ̊u? Zˇrejmˇe tehdy, kdyˇz

pod ́ıl ˇz ́ak ̊u ́uspˇeˇsn ́ych ve fyzice (resp. chemii) mezi ˇz ́aky ́uspˇeˇsn ́ymi v chemii (resp. fyzice)

bude stejn ́y jako pod ́ıl tˇechto ˇz ́ak ̊u mezi vˇsemi ˇz ́aky ve v ́ybˇerov ́em souboru. Poˇzadujeme

tedy, aby 푝(퐺

2

∣ 퐺

1

) = 푝(퐺

2

) a souˇcasnˇe 푝(퐺

1

∣ 퐺

2

) = 푝(퐺

1

). Oba tyto poˇzadavky jsou

ekvivalentn ́ı s multiplikativn ́ım vztahem

푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) = 푝(퐺

1

) ⋅ 푝(퐺

2

),

kter ́y slouˇz ́ı k definov ́an ́ı ˇcetnostn ́ı nez ́avislosti dvou mnoˇzin v dan ́em v ́ybˇerov ́em souboru.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 16 — #13

i

i

i

i

i

i

16 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

1.4

ˇ

Cetnostn ́ı nez ́avislost dvou mnoˇzin v dan ́em v ́ybˇerov ́em sou

boru

Mnoˇziny 퐺

1

⊆ 퐸, 퐺

2

⊆ 퐸 jsou ˇcetnostnˇe nez ́avisl ́e ve v ́ybˇerov ́em souboru {휀

1

,...,휀

푛

},

jestliˇze plat ́ı multiplikativn ́ı vztah 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) = 푝(퐺

1

) ⋅ 푝(퐺

2

).

Informace o p ̊uvodu objektu z jedn ́e mnoˇziny nijak neovlivˇnuj ́ı naˇse oˇcek ́av ́an ́ı, s n ́ımˇz

usuzujeme na jeho p ̊uvod z druh ́e mnoˇziny. V naˇsem pˇr ́ıkladˇe se ˇz ́aky tento multiplikativn ́ı

vztah splnˇen nen ́ı, nebot

’

25

30

= 0,83 ∕=

28

30

⋅

27

30

= 0,84.

Nyn ́ı kaˇzd ́y objekt z ́akladn ́ıho souboru ohodnot ́ıme jedn ́ım nebo v ́ıce ˇc ́ısly pomoc ́ı funk

ce, kter ́a se naz ́yv ́a znak.

ˇ

C ́ısla, kter ́a se vztahuj ́ı pouze k objekt ̊um v ́ybˇerov ́eho souboru,

sestav ́ıme do matice zvan ́e datov ́y soubor.

1.5 Skal ́arn ́ı a vektorov ́y znak

Funkce 푋 : 퐸 → ℝ,푌 : 퐸 → ℝ,...,푍 : 퐸 → ℝ, kter ́e kaˇzd ́emu objektu pˇriˇrazuj ́ı ˇc ́ıslo,

se naz ́yvaj ́ı (skal ́arn ́ı) znaky (ilustrace viz obr ́azek 1.2). Uspoˇr ́adan ́a 푝-tice (푋,푌,...,푍) se

naz ́yv ́a vektorov ́y znak.

Obr ́azek 1.2: Ilustrace skal ́arn ́ıho znaku.

1.6 Datov ́y soubor

Je-li d ́an v ́ybˇerov ́y soubor {휀

1

,...,휀

푛

}⊆ 퐸, pak hodnoty znak ̊u 푋,푌,...,푍 pro 푖-t ́y objekt

oznaˇc ́ıme 푥

푖

= 푋 (휀

푖

), 푦

푖

= 푌 (휀

푖

), ..., 푧

푖

= 푍 (휀

푖

), 푖 = 1,...,푛. Matice

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

푥

1

푦

1

... 푧

1

푥

2

푦

2

... 푧

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

푥

푛

푦

푛

... 푧

푛

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

typu 푛 × 푝 se naz ́yv ́a datov ́y soubor. Jej ́ı ˇr ́adky odpov ́ıdaj ́ı jednotliv ́ym objekt ̊um, sloupce

znak ̊um. Libovoln ́y sloupec t ́eto matice naz ́yv ́ame jednorozmˇern ́y datov ́y soubor. Uspoˇr ́adan ́e

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 17 — #14

i

i

i

i

i

i

Z ́akladn ́ı, v ́ybˇerov ́y a datov ́y soubor 17

hodnoty napˇr. znaku 푋: 푥

(1)

≤ 푥

(2)

≤ ... ≤ 푥

(푛)

tvoˇr ́ı uspoˇr ́adan ́y datov ́y soubor

⎛

⎜

⎝

푥

(1)

.

.

.

푥

(푛)

⎞

⎟

⎠.

Vektor

⎛

⎜

⎝

푥

[1]

.

.

.

푥

[푟]

⎞

⎟

⎠,

kde 푥

[1]

< ... < 푥

[푟]

, 푟 ≤ 푛, jsou navz ́ajem r ̊uzn ́e hodnoty znaku 푋, se naz ́yv ́a vektor

variant. Pozor – je d ̊uleˇzit ́e rozliˇsovat, zda je index bez z ́avorky, v kulat ́e z ́avorce ˇci hranat ́e

z ́avorce!

Pˇr ́ıklad 1.3. Pro ˇz ́aky z v ́ybˇerov ́eho souboru rozsahu 30 uveden ́eho v pˇr ́ıkladu 1.1 byly

zjiˇst

’

ov ́any hodnoty znak ̊u 푋 – zn ́amka z fyziky v pololet ́ı, 푌 – zn ́amka z chemie v pololet ́ı,

푍 – pohlav ́ı ˇz ́aka (0 . . . d ́ıvka, 1 . . . hoch). Byl z ́ısk ́an datov ́y soubor (z d ̊uvodu ́uspory m ́ısta

je matice typu 30 × 3 rozdˇelena na tˇri ˇc ́asti).

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1 2 1

2 3 1

2 3 0

4 5 1

2 1 1

4 3 1

2 2 1

4 2 0

3 3 0

4 5 0

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

2 3 1

2 3 0

2 2 0

4 5 0

3 3 1

3 4 1

2 3 1

2 2 0

5 3 1

3 2 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

3 4 0

5 4 0

2 1 0

2 2 0

3 1 1

3 4 0

2 1 1

1 1 0

1 1 1

1 2 0

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

Utvoˇrte jednorozmˇern ́y datov ́y soubor pro znak 푋, vektory variant pro znaky 푋 a 푍 a najdˇete

푥

2

, 푥

(2)

, 푥

[2]

.

ˇ

Reˇsen ́ı

Jednorozmˇern ́y datov ́y soubor pro znak 푋 je sloupcov ́y vektor o 30 ˇr ́adc ́ıch. Opˇet z d ̊uvodu

́uspory m ́ısta ho nap ́ıˇseme jako transponovan ́y ˇr ́adkov ́y vektor

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5

′

.

Vektor variant pro znak 푋 je

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1

2

3

4

5

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, pro znak 푍



1



, d ́ale 푥

2

= 2, 푥

(2)

= 1, 푥

[2]

= 2.

□

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 18 — #15

i

i

i

i

i

i

18 Pr ̊uvodce z ́akladn ́ımi statistick ́ymi metodami

1.7 Jev a jeho absolutn ́ı a relativn ́ı ˇcetnost

Jevem rozum ́ıme skuteˇcnost, ˇze znak푋 nabyl hodnoty z ˇc ́ıseln ́e mnoˇziny퐵 (form ́alnˇe p ́ıˇseme

{푋 ∈ 퐵}) resp. znaky 푋,푌,...,푍 souˇcasnˇe nabyly hodnot z ˇc ́ıseln ́ych mnoˇzin 퐵

1

,...,퐵

푝

(p ́ıˇseme {푋 ∈ 퐵

1

∧ 푌 ∈ 퐵

2

∧ ... ∧ 푍 ∈ 퐵

푝

}).

Je-li {휀

1

,...,휀

푛

} v ́ybˇerov ́y soubor, pak zavedeme absolutn ́ı ˇcetnost jevu {푋 ∈ 퐵} ve

v ́ybˇerov ́em souboru (znaˇc ́ıme ji 푁 (푋 ∈ 퐵)) jako poˇcet tˇech objekt ̊u ve v ́ybˇerov ́em souboru,

pro nˇeˇz znak 푋 ∈ 퐵. Relativn ́ı ˇcetnost jevu {푋 ∈ 퐵} ve v ́ybˇerov ́em souboru je pak pod ́ıl

absolutn ́ı ˇcetnosti a rozsahu souboru, tj.

푝(푋 ∈ 퐵) =

푁 (푋 ∈ 퐵)

푛

.

Analogicky푁(푋 ∈ 퐵

1

∧푌 ∈ 퐵

2

∧...∧푍 ∈ 퐵

푝

)resp.푝(푋 ∈ 퐵

1

∧푌 ∈ 퐵

2

∧...∧푍 ∈ 퐵

푝

)

znamen ́a absolutn ́ı resp. relativn ́ı ˇcetnost jevu {푋 ∈ 퐵

1

∧ 푌 ∈ 퐵

2

∧ ... ∧ 푍 ∈ 퐵

푝

} ve v ́y

bˇerov ́em souboru.

Napˇr. pro datov ́y soubor z pˇr ́ıkladu 1.3 vyj ́adˇr ́ıme absolutn ́ı ˇcetnost d ́ıvek, kter ́e maj ́ı

z obou sledovan ́ych pˇredmˇet ̊u jedniˇcku nebo dvojku, n ́asledovnˇe: 푁(푋 ≤ 2 ∧ 푌 ≤ 2 ∧

푍 = 0) = 6. Nebo relativn ́ı ˇcetnost ˇz ́ak ̊u, kteˇr ́ı propadaj ́ı z fyziky, pak m ̊uˇzeme vyj ́adˇrit

takto: 푝(푋 = 5) =

2

30

= 0,06.

Pˇr ́ıklady k samostatn ́emu ˇreˇsen ́ı

1.A Necht

’

mnoˇziny 퐺

1

,퐺

2

jsou nesluˇciteln ́e, relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺

1

je 0,15, relativn ́ı

ˇcetnost sjednocen ́ı mnoˇzin 퐺

1

,퐺

2

je 0,8. Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺

2

.

[푝(퐺

2

) = 푝(퐺

1

∪ 퐺

2

) − 푝(퐺

1

) = 0,8 − 0,15 = 0,65]

1.B Necht

’

mnoˇzina 퐺

1

je podmnoˇzinou mnoˇziny 퐺

2

a jej ́ı relativn ́ı ˇcetnost je 0,33. Relativn ́ı

ˇcetnost rozd ́ılu mnoˇzin 퐺

2

∖퐺

1

je 0,15. Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺

2

.

[푝(퐺

2

) = 푝(퐺

2

∖퐺

1

) + 푝(퐺

1

) = 0,15 + 0,33 = 0,48]

1.C Necht

’

relativn ́ı ˇcetnost rozd ́ılu mnoˇzin 퐺

1

∖퐺

2

je 0,36 a relativn ́ı ˇcetnost jejich pr ̊uniku

je 0,12. Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost mnoˇziny 퐺

1

.

[푝(퐺

1

) = 푝(퐺

1

∖퐺

2

) + 푝(퐺

1

∩ 퐺

2

) = 0,36 + 0,12 = 0,48]

1.D Je d ́an dvourozmˇern ́y datov ́y soubor

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

2 1

2 0

1 0

4 2

4 2

3 2

3 1

5 3

5 2

2 0

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Znak 푋 (lev ́y sloupec) znamen ́a poˇcet ˇclen ̊u dom ́acnosti a znak 푌 (prav ́y sloupec) poˇcet dˇet ́ı

do 15 let v t ́eto dom ́acnosti.

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

“kniha” — 2010/9/9 — 15:05 — page 19 — #16

i

i

i

i

i

i

Z ́akladn ́ı, v ́ybˇerov ́y a datov ́y soubor 19

a) Utvoˇrte uspoˇr ́adan ́e datov ́e soubory pro znaky 푋 a 푌 .

b) Najdˇete vektory variant znak ̊u 푋 a 푌 .

c) Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost tˇr ́ıˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı.

d) Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost nejv ́yˇse tˇr ́ıˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı.

e) Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost bezdˇetn ́ych dom ́acnost ́ı.

f) Vypoˇctˇete relativn ́ı ˇcetnost dvouˇclenn ́ych bezdˇetn ́ych dom ́acnost ́ı.

g) Vypoˇctˇete podm ́ınˇenou relativn ́ı ˇcetnost dvouˇclenn ́ych bezdˇetn ́ych dom ́acnost ́ı.

[Ad a), uspoˇr ́adan ́e datov ́e soubory:

pro 푋:

1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

′

,

pro 푌:

0 0 0 1 1 2 2 2 2 3

′

.

Ad b), vektor variant pro znak 푋:

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1

2

3

4

5

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, pro znak 푌 :

⎛

⎜

⎜

⎝

1

2

3

⎞

⎟

⎟

⎠

.

Ad c), relativn ́ı ˇcetnost tˇr ́ıˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı je 0,2. Ad d), relativn ́ı ˇcetnost nejv ́yˇse

tˇr ́ıˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı je 0,6. Ad e), relativn ́ı ˇcetnost bezdˇetn ́ych dom ́acnost ́ı je 0,3. Ad f),

relativn ́ı ˇcetnost dvouˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı je 0,3. Ad g), podm ́ınˇen ́a relativn ́ı ˇcetnost tˇech

dvouˇclenn ́ych dom ́acnost ́ı, kter ́e jsou bezdˇetn ́e, je 0,6.]