Kniha: Parciální diferenciální rovnice – dotisk – Jan Franců.

Obsah

Předmluva.................................................................................................................. 3

Úvodní poznámky .................................................................................................... 7

1. Rovnice prvního řádu 12

1.1 Homogenní lineární rovnice v rovině............................................................... 13

1.2 Existenční věta................................................................................................. 16

1.3 Homogenní lineární rovnice v prostoru vyšší dimenze................................. 18

1.4 Kvazilineární rovnice....................................................................................... 20

2. Cauchyova počáteční úloha 24

2.1 Cauchyova úloha v rovině.............................................................................. 24

2.2 Existence a jednoznačnost řešení..................................................................... 25

2.3 Zobecněná Cauchyova úloha v rovině............................................................ 26

2.4 Cauchyova úloha pro rovnici fc-tého řádu v dimenzi N................................. 29

2.5 Zobecněná Cauchyova úloha v prostoru RA................................................... 30

3. Klasifikace rovnic druhého řádu 35

3.1 Klasifikace rovnic v rovině.............................................................................. 35

3.2 Převedení rovnice na kanonický tvar ............................................................ 36

3.3 Rovnice s konstantními koeficienty ............................................................... 41

3.4 Rovnice v prostoru vyšší dimenze.................................................................. 42

4. Odvození vybraných rovnic matematické fyziky 47

4.1 Rovnice vedení tepla v tyči.............................................................................. 48

4.2 Rovnice vedení tepla v tělese........................................................................... 54

4.3 Rovnice difúze................................................................................................... 61

4.4 Rovnice kmitání struny.................................................................................... 62

4.5 Další jednorozměrné vlnové rovnice............................................................... 66

4.6 Vícerozměrné vlnové rovnice........................................................................... 68

4.7 Eliptické rovnice a rovnice pro stacionární jevy............................................. 71

4.8 Odvození úlohy pomocí variačního principu................................................... 73

4.9 Rovnice čtvrtého řádu.................................................................................... 77

4.10 Souhrn - fyzikální interpretace základních úloh............................................. 78

5. Metoda charakteristik 82

5.1 Jednorozměrná vlnová rovnice na přímce........................................................ 82

5.2 Jednorozměrná vlnová rovnice na polopřímce a úsečce................................. 88

5.3 Trojrozměrná vlnová rovnice........................................................................... 92

5.4 Dvojrozměrná vlnová rovnice ........................................................................ 95

5.5 Rovnice s členem nižšího řádu........................................................................ 97

6. Fourierova metoda řad 99

6.1 Jednorozměrná parabolická rovnice............................................................... 99

6.2 Jednorozměrná hyperbolická rovnice ...............................................................107

6.3 Metoda řad obecně.............................................................................................110

5

6.4 Vícerozměrné případy ....................................................................................... 112

7. Metoda integrální transformace 117

7.1 Fourierova transformace pro jednorozměrnou rovnici.......................................117

7.2 Fourierova transformace pro vícerozměrnou rovnici ...................................... 121

7.3 Použití Laplaceovy transformace........................................................................124

8. Metoda Greenovy funkce 125

8.1 Pomocné výsledky .............................................................................................126

8.2 Řešení okrajových úloh.......................................................................................131

8.3 Konkrétní příklady Greenovy funkce .............................................................. 133

9. Principy maxima a jednoznačnost úloh 138

9.1 Harmonické funkce na omezené oblasti........................................................... 138

9.2 Okrajové úlohy na omezené oblasti................................................................. 141

9.3 Harmonické funkce na neomezené oblasti........................................................ 142

9.4 Okrajové úlohy na neomezené oblasti.............................................................. 144

9.5 Princip maxima pro parabolické rovnice........................................................... 145

10. Metoda potenciálů 147

10.1 Vlastnosti potenciálů..........................................................................................147

10.2 Transformace okrajových úloh...........................................................................150

10.3 Řešitelnost okrajových úloh..............................................................................151

11. Přehled vlastností řešení 153

Dodatky 155

A. Vektorové diferenciální operátory........................................................................155

B. Polární souřadnice................................................................................................156

C. Sférické souřadnice................................................................................................156

Literatura.....................................................................................................................157

Rejstřík........................................................................................................................159

6