načítání...


menu
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Matematika pro nematematické obory -- s aplikacemi v přírodních a technických vědách – Zuzana Došlá; Petr Liška

Matematika pro nematematické obory -- s aplikacemi v přírodních a technických vědách

Elektronická kniha: Matematika pro nematematické obory
Autor: Zuzana Došlá; Petr Liška
Podnázev: s aplikacemi v přírodních a technických vědách

Publikace je určená studentům vysokých škol (přírodovědného, technického a ekonomického zaměření), ale také zájemcům o základy matematické analýzy a lineární algebry. Kniha navazuje na středoškolskou matematiku a obsahuje řešené úlohy. ... (celý popis)
Titul je skladem - ke stažení ihned
Médium: e-kniha
Vaše cena s DPH:  280
+
-
9,3
bo za nákup

ukázka z knihy ukázka

Titul je dostupný ve formě:
elektronická forma ELEKTRONICKÁ
KNIHA

hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%   celkové hodnocení
0 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: » Grada
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF
Zabezpečení proti tisku a kopírování: ano
Médium: e-book
Rok vydání: 2014
Počet stran: 304
Rozměr: 24 cm
Úprava: ilustrace
Vydání: 1. vydání
Skupina třídění: Matematika
Učební osnovy. Vyučovací předměty. Učebnice
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-247-5322-5
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis / resumé

Publikace je určená studentům vysokých škol (přírodovědného, technického a ekonomického zaměření), ale také zájemcům o základy matematické analýzy a lineární algebry. Kniha navazuje na středoškolskou matematiku a obsahuje řešené úlohy. Publikace objasňuje tato témata: linerání algebra, funkce jedné, ale i více proměnných, limita, derivace, průběh funkce, neurčitý a určitý integrál, aproximace a interpolace, nekonečné řady, diferenciální rovnice prvního a druhého řádu, parciální derivace a extrémy, dvojný, trojný a křivkový integrál, autonomní systémy v rovině.

Popis nakladatele

Publikace je určená studentům vysokých škol zejména přírodovědného, technického a ekonomického zaměření a obecně všem zájemcům o základy matematické analýzy a lineární algebry.

Objasňuje tato témata: diferenciální a integrální počet funkcí jedné i více proměnných, posloupnosti a nekonečné řady, diferenciální rovnice prvního a druhého řádu a křivkový integrál. Z lineární algebry se věnuje tématům: matice, determinanty a systémy lineárních rovnic.

Kniha přirozeně navazuje na středoškolskou matematiku a obsahuje řadu řešených matematických úloh a aplikací v přírodních a technických vědách. (s aplikacemi v přírodních a technických vědách)

Předmětná hesla
Zařazeno v kategoriích
Zuzana Došlá; Petr Liška - další tituly autora:
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Matematika pro nematematické obory -- s aplikacemi v přírodních a technických vědách Matematika pro nematematické obory
Nekonečné řady Nekonečné řady
 
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

Michael Armstrong

Matematika

pro nematematické obory

s aplikacemi

v přírodních

a technických

vědách

x

y

z

Z. DošláP. Liška

pro nematematické obory

Zuzana Došlá, Petr Liška

www.grada.cz

Grada Publishing, a.s.

U Průhonu 22, 170 00 Praha 7

tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400

e-mail: obchod@grada.cz

Publikace je určená studentům vysokých škol zejména přírodovědného, technického

a ekonomického zaměření a obecně všem zájemcům o základy matematické analýzy

a lineární algebry.

Objasňuje tato témata: diferenciální a integrální počet funkcí jedné i více proměn

ných, posloupnosti a nekonečné řady, diferenciální rovnice prvního a druhého řádu

a křivkový integrál. Z lineární algebry se věnuje tématům: matice, determinanty

a systémy lineárních rovnic.

Kniha přirozeně navazuje na středoškolskou matematiku a obsahuje řadu řešených

matematických úloh a aplikací v přírodních a technických vědách.

Dále doporučujeme:

MATEMATIKA



Grada Publishing

Matematika

pro nematematické obory

x

y

z

Zuzana Došlá, Petr Liška

s aplikacemi

v přírodních

a technických

vědách


Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy

Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí

být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez před

chozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude

trestně stíháno. prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Mgr. Petr Liška Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách Tiráž tištěné publikace: Kniha je monografie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 5655. publikaci Odborná recenze: doc. RNDr. Jan Čermák, CSc. Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s. Odpovědný redaktor Petr Somogyi Grafická úprava a sazba Mgr. Petr Liška Počet stran 304 První vydání, Praha 2014 Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s.

c© Grada Publishing, a.s., 2014

Cover Illustration c© Mgr. Petr Liška ISBN 978-80-247-5322-5 Elektronické publikace: ISBN 978-80-247-9206-4 (ve formátu PDF) Obsah Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Lineární algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Systémy lineárních rovnic a matice . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Vlastní čísla a vlastní vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Pojem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Goniometrické a cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . 47

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Limita, derivace a průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Extrémy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Konvexnost a konkávnost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7 Asymptoty funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.8 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4 Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 Základní integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 Integrace racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5


6 Matematika pro nematematické obory

4.4 Speciální integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1 Definice a základní vlastnosti určitého integrálu . . . . . . . . . 117

5.2 Metoda per partes a substituce pro určité integrály . . . . . . . 122

5.3 Geometrické aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6 Aproximace a interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1 Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 Lagrangeův polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.3 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7 Nekonečné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.1 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.2 Číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3 Kritéria konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4 Pravidla pro počítání s číselnými řadami . . . . . . . . . . . . . 151

7.5 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.6 Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.7 Některé aplikace nekonečných řad . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8 Diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1 Co jsou diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.2 Rovnice se separovanými proměnnými . . . . . . . . . . . . . . 170

8.3 Lineární diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.4 Numerické řešení počáteční úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.5 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu . . . . . . . . . . . 181

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9 Diferenciální rovnice druhého řádu . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.1 Homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.2 Nehomogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.3 Okrajová úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10 Funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.1 Funkce a její definiční obor a graf . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.2 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Obsah 7

10.3 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.4 Vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11 Parciální derivace a extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.1 Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.2 Gradient, divergence a rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11.3 Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.4 Kmenová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

11.5 Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11.6 Absolutní extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 12 Dvojný a trojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.1 Co je dvojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.2 Fubiniho věta pro dvojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

12.3 Transformace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

12.4 Aplikace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

12.5 Fubiniho věta pro trojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

12.6 Transformace trojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13 Křivkový integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13.1 Parametrické rovnice křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13.2 Křivkový integrál prvního druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

13.3 Křivkový integrál druhého druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

13.4 Nezávislost integrálu na integrační cestě . . . . . . . . . . . . . 275

13.5 Greenova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 14 Autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14.2 Lineární autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . 283

Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Rejstřík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8 Matematika pro nematematické obory

O autorech

prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc.

Vystudovala obor Matematika na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univer

zity v Brně (dříve Univerzita J. E. Purkyně), kde také od roku 1981 působí

jako vysokoškolský pedagog. Od roku 2005 je profesorkou matematiky v oboru

Matematika – Matematická analýza. Ve své vědecko-výzkumné činnosti se za

měřuje na studium kvalitativních vlastností obyčejných diferenciálních a dife

renčních rovnic. Je autorkou více než stovky odborných vědeckých prací, jedné

zahraniční monografie, několika skript a multimediálních textů. Navázala boha

tou mezinárodní spolupráci, zejména s italskými matematiky, a své výsledky

publikuje v mezinárodních vědeckých časopisech. Jako pedagog se zaměřuje

na výuku matematické analýzy pro učitelské studium a výuku matematiky

pro nematematické obory. Dlouhodobě se podílí na popularizaci matematiky

a přírodních věd. Je školitelkou doktorandů a členkou redakčních rad několika

mezinárodních časopisů.

Mgr. Petr Liška

Je absolventem oboru Učitelství matematiky a deskriptivní geometrie pro střed

ní školy na Masarykově univerzitě v Brně, kde v současnosti pokračuje v dok

torském studiu Matematické analýzy a věnuje se kvalitativním vlastnostem

obyčejných diferenciálních rovnic se zpožděním. Vyučuje matematiku pro che

miky a základy matematiky. Od roku 2010 působí jako asistent na Ústavu

matematiky Lesnické a dřevařské fakulty Mendelovy univerzity v Brně, kde

vyučuje základní kurzy matematiky a konstruktivní geometrie. Předmluva

Žádné lidské zkoumání nemůže být nazváno opravdovou vědou,

pokud ho nemůžeme dokázat matematicky.

Leonardo da Vinci

Tato učebnice obsahuje základy matematiky v rozsahu, který je obvykle probírán v prvních dvou semestrech bakalářského studia nematematických oborů. Jde o základy lineární algebry, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, nekonečné řady, diferenciální rovnice, křivkový integrál a autonomní systémy.

Matematika bývá označována za královnu věd. Vyznačuje se nezpochybnitelností výsledků a nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti, její krása spočívá v logické výstavbě.

Při psaní této učebnice jsme si kladli následující otázky: Může být matematika stejně krásná jako hudba? Jak ukázat matematiku v tomto světle studentům, jejichž specializací matematika není?

Cílem učebnice není naučit čtenáře jen derivovat a integrovat, ale vést jej také k analytickému myšlení, schopnosti definovat pojmy a formulovat problémy a tvrzení. Přitom jsme hledali vhodný poměr mezi matematickou přesností a srozumitelností tak, aby byla přístupná širokému okruhu čtenářů. V neposlední řadě jsme chtěli ukázat, že matematika nás obklopuje i v každodenním životě.

V každé kapitole je nejprve uveden matematický aparát, kdy formou definic zavedeme nové pojmy a formou matematických vět popíšeme vztahy mezi nimi. Každá matematická věta má předpoklady, za kterých dané tvrzení platí. Změníme-li předpoklady, tvrzení nemusí zůstat v platnosti, na což se občas v aplikacích zapomíná. Každou matematickou větu lze zcela exaktně dokázat, avšak důkazy vzhledem k rozsahu a zaměření textu nejsou uvedeny. Pochopení matematických pojmů a algoritmů je ilustrováno na velkém počtu řešených příkladů, následně jsou předvedeny aplikace v konkrétních úlohách s přírodovědnou a technickou tematikou.

9


10 Matematika pro nematematické obory

Další zajímavé aplikace matematiky najdeme v medicíně, ekonomii, v humanitních a společenských vědách. Tyto aplikace jsme pro nedostatek místa nemohli zařadit, viz např. [2], [11], [17] nebo [21].

Závěrem bychom chtěli popřát všem studentům a čtenářům, aby se pro ně matematika stala zajímavou a inspirativní součástí jejich vědního oboru. Brno, červenec 2014 Autoři Kapitola 1 Lineární algebra Obecně se dá říci, že lineární algebra je část matematiky, která se věnuje vektorovým prostorům a lineárním transformacím těchto prostorů. Jedná se ovšem o vysoce abstraktní pojmy a pokud bychom je chtěli poctivě zavést a studovat do všech detailů, museli bychom lineární algebře věnovat celou knihu. V této kapitole se tedy zaměříme jen na nejdůležitější objekty a metody, se kterými lineární algebra pracuje.

Jednou ze základních úloh lineární algebry je řešení systémů lineárních rovnic. K těmto systémům vede mnoho úloh z praxe (modelování v ekonomii, vyvažování chemických reakcí, popisy toků v sítích atd.) a navíc jsou užitečným nástrojem i v jiných odvětvích matematiky. Naučíme se tedy jednu z metod, jak takové systémy řešit – tzv. Gaussovu eliminační metodu. K tomuto účelu zavedeme základní pojmy lineární algebry: matice a hodnost matice. Dále se seznámíme s pojmem determinant matice, který budeme potřebovat v dalších kapitolách, a zavedeme tzv. vlastní čísla, jež později použijeme při řešení tzv. dynamických systémů. 1.1 Systémy lineárních rovnic a matice Již na střední škole se řeší systém dvou lineárních rovnic

ax + by = c

dx + ey = f

pro neznámé x,y, kde a,b,c,d,e,f jsou nějaká daná reálná čísla. Tento systém se dá řešit například sčítací metodou, tj. postupem, kdy jednu rovnici vynásobíme vhodným číslem a sečteme s druhou rovnicí tak, abychom vyloučili jednu neznámou.

Tento systém můžeme interpretovat i geometricky. Každá rovnice představuje přímku v rovině a najít řešení znamená určit jejich průsečík. Dvě přímky

11


12 Matematika pro nematematické obory

mohou mít buď jeden průsečík (pak má systém jedno řešení), nebo splývají

(systém má nekonečně mnoho řešení), nebo nemají žádný průsečík, tj. přímky

jsou rovnoběžné (systém nemá žádné řešení).

Příklad 1.1. a) Systém dvou rovnic

x + y = 2

x − y = 0

(1.1)

má právě jedno řešení, kterým je x = 1, y = 1.

b) Systém

x + y = 0

2x + 2y = 0

(1.2)

má nekonečně mnoho řešení. Není možné si ovšem představit, že když má

tento systém nekonečně mnoho řešení, pak libovolná dvojice čísel je řešením

systému. Těchto nekonečně mnoho řešení je například ve tvaru (t, −t), kde

t je libovolné reálné číslo.

c) Naopak systém

x + y = 1

2x + 2y = 5

(1.3)

nemá žádné řešení.

Podobné příklady bychom mohli uvést pro systémy více lineárních rovnic o více

proměnných, přičemž naše představivost by byla limitována rovnicemi o třech

neznámých, které by zastupovaly roviny v prostoru. Obecně můžeme uvažovat

o libovolném počtu rovnic a neznámých, přitom se počet rovnic nemusí rovnat

počtu neznámých.

Definice 1.2. Systémem k lineárních rovnic o n neznámých x

1

,x

2

,...,x

n

rozumíme soustavu rovnic

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+  + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+  + a

2n

x

n

= b

2

(1.4)

........................... ...

a

k1

x

1

+ a

k2

x

2

+  + a

kn

x

n

= b

k

.

Je-li b

1

= b

2

=  = b

k

= 0, nazývá se takovýto systém homogenní.

Řešením systému (1.4) je každá uspořádaná n-tice (t

1

,t

2

,...,t

n

) takových

čísel t

1

, t

2

,. . . , t

n

, která dané soustavě vyhovuje.


Lineární algebra 13

Obecně (tj. nezávisle na počtu lineárních rovnic a počtu neznámých) jsou

možné tři případy.

1. Systém rovnic má právě jedno řešení.

2. Systém rovnic má nekonečně mnoho řešení.

3. Systém rovnic nemá žádné řešení.

Základní otázkou tedy je, jak poznáme, který z těchto případů nastane? Od

pověď úzce souvisí s pojmy matice a hodnost matice.

Definice 1.3. Matice je tabulka čísel. Je-li tato matice (tabulka) sestavená

z m řádků a n sloupců, označujeme ji

A = (a

ij

) =

a

11

a

12

... a

1n

a

21

a

22

... a

2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m1

a

m2

... a

mn

.

Říkáme, že A je matice typu m × n, čísla a

ij

nazýváme prvky matice. Matici

typu n × 1 nazýváme sloupcový vektor a matici typu 1 × n řádkový vektor,

stručně vektor.

Prvky matice mohou být i některé jiné matematické objekty, např. funkce.

S takovými maticemi se setkáme v kapitolách o diferenciálních rovnicích a ví

cerozměrných integrálech.

Systém rovnic (1.4) můžeme reprezentovat následujícími maticemi a ty pak

studovat místo něj.

Maticí systému (1.4) nazýváme matici

A =

a

11

a

12

... a

1n

a

21

a

22

... a

2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

k1

a

k2

... a

kn

.

Rozšířenou maticí systému (1.4) nazýváme matici

a

11

a

12

... a

1n

b

1

a

21

a

22

... a

2n

b

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

k1

a

k2

... a

kn

b

k

.

Ještě než se ovšem dostaneme ke studiu našeho systému, seznámíme se s ma

ticemi podrobněji.


14 Matematika pro nematematické obory

Řekneme, že dvě matice A, B téhož typu m × n jsou si rovny, jestliže jsou

si rovny všechny sobě odpovídající prvky těchto matic, tj.

a

ij

= b

ij

pro všechny indexy i,j.

Je-li m = n, nazýváme matici A čtvercovou maticí a číslo n řádem této matice

A. Prvky a

11

,a

22

,...a

nn

tvoří hlavní diagonálu matice A. Čtvercová matice,

která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové,

se nazývá jednotková matice a označujeme ji E. Jsou-li všechny prvky a

ij

rovny

nule, pak se A nazývá nulová matice.

S maticemi můžeme provádět následující operace.

Nechť k 6= 0 je reálné číslo. Výsledkem násobení matice A číslem k je

matice C, jejíž prvky jsou tvaru

c

ij

= ka

ij

.

Tedy

C = k  A = k 

a

11

a

12

... a

1n

a

21

a

22

... a

2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m1

a

m2

... a

mn

=

ka

11

ka

12

... ka

1n

ka

21

ka

22

... ka

2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ka

m1

ka

m2

... ka

mn

.

Nechť A, B jsou matice téhož typu m × n. Součtem matic A, B nazýváme

matici C, jejíž prvky jsou

c

ij

= a

ij

+ b

ij

.

Tedy

C = A + B =

a

11

... a

1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m1

... a

mn

 +

b

11

... b

1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b

m1

... b

mn

 =

=

a

11

+ b

11

... a

1n

+ b

1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m1

+ b

m1

... a

mn

+ b

mn

.

Nechť A je matice typu m × n a B je matice typu n × p. Součinem matic A

a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C, jejíž prvky jsou

c

ij

= a

i1

b

1j

+ a

i2

b

2j

+ ...a

in

b

nj

=

n

X

k=1

a

ik

b

kj

.

Prvek c

ij

tedy vznikne tak, že vezmeme i-tý řádek matice A a j-tý sloupec

matice B, vynásobíme sobě odpovídající prvky a vše sečteme.


Lineární algebra 15

Poznámka 1.4. i) Sčítat lze pouze matice stejného typu. Pro matice různého

typu není součet definován.

ii) Operace násobení je definována pouze pro případ „m × n krát n × p“.

Z toho také vyplývá, že obecně neplatí rovnost AB = BA. Součin BA totiž

vůbec nemusí být definován, přestože součin AB provést lze, viz Příklad

1.5. Nicméně i v případě, kdy lze násobit BA, rovnost AB = BA obecně

neplatí.

Příklad 1.5. Proveďte následující operace:

a)



1 2

−3 4



+



2 −1

−1 −2



, b)



3 0 1

5 4 2





1 3 2

1 1 0

3 −1 2

.

Řešení. a) Součet matic je definován pouze pro matice stejného typu, přičemž

pak sčítáme odpovídající prvky obou matic. V našem případě dostaneme:



1 2

−3 4



+



2 −1

−1 −2



=



1 + 2 2 − 1

−3 − 1 4 − 2



=



3 1

−4 2



.

b) Připomeňme, že součin dvou matic je definován pouze v případě, že první

z nich má tolik sloupců, kolik řádků má druhá. V našem případě je součin

definován a platí:



3 0 1

5 4 2





1 3 2

1 1 0

3 −1 2

=

=



3  1 + 0  1 + 1  3 3  3 + 0  1 + 1  (−1) 3  2 + 0  0 + 1  2

5  1 + 4  1 + 2  3 5  3 + 4  1 + 2  (−1) 5  2 + 4  0 + 2  2



=

=



6 8 8

15 17 14



.

Maticemi nemusíme jen reprezentovat koeficienty lineárních rovnic, můžeme

jimi celé systémy rovnou zapisovat, jak ukazuje následující příklad.

Příklad 1.6. Systém rovnic (1.1) lze maticově zapsat pomocí matice typu 2×2,

sloupcového vektoru, jehož prvky jsou neznámé x,y, a sloupcového vektoru,

jehož prvky jsou čísla 2,0 z pravé strany rovnic:



1 1

1 −1



x

y



=



2



.


16 Matematika pro nematematické obory

Podobně systémy rovnic (1.2) a (1.3) jsou tvaru



1 1

2 2



x

y



=





a



1 1

2 2



x

y



=



1

5



.

Systém (1.4) lze psát v maticovém tvaru

A  X = B, kde X =

x

1

.

.

.

x

n

, B =

b

1

.

.

.

b

n

.

1.2 Hodnost matice

Vraťme se nyní k otázce, který z možných případů při řešení lineárního systému

rovnic nastane, tj. jak můžeme snadno rozlišit, kdy má systém právě jedno

řešení, kdy nekonečně mnoho řešení a kdy žádné? Abychom na tuto otázku

mohli odpovědět, musíme zavést pojem hodnost matice.

Připomeňme, že vektor je uspořádaná n-tice čísel nebo též matice typu

1 × n. Součin čísla s vektorem se provádí po složkách, tj. stejně, jako by se

prováděl součin čísla s maticí typu 1 × n. Podobně je součet dvou vektorů

totéž jako součet dvou matic typu 1×n. Nulovým vektorem o rozumíme vektor

složený se samých nul, tj. o = (0,0,...,0).

Definice 1.7. Řekneme, že vektory u

1

,...,u

n

jsou lineárně nezávislé,

jestliže z rovnosti

α

1

u

1

+  + α

n

u

n

= o

plyne α

1

=  = α

n

= 0. V opačném případě, tj. když existují čísla

α

1

,...,α

n

, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, že

α

1

u

1

+  + α

n

u

n

= o,

říkáme, že vektory u

1

,...,u

n

jsou lineárně závislé.

Například vektory u

1

= (1,2) a u

2

= (0,3) jsou lineárně nezávislé. Vytvoříme-li

totiž lineární kombinaci těchto vektorů

α  (1,2) + β  (0,3) = (α,2α) + (0,3β) = (α,2α + 3β),

dostaneme vektor, který položíme roven nulovému vektoru, tj.

(α,2α + 3β) = (0,0).

Odtud plyne, že α = 0, 2α + 3β = 0, a proto také β = 0.


Lineární algebra 17

Naopak vektory u

1

= (1,2) a u

2

= (2,4) jsou lineárně závislé, protože napří

klad platí, že

2  (1,2) − 1  (2,4) = (0,0).

Nyní uvažujme matici A. Řádky matice můžeme chápat jako vektory a li

neární nezávislost řádků matice pak znamená lineární nezávislost vektorů. Po

mocí tohoto pojmu definujeme hodnost matice.

Definice 1.8. Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu

lineárně nezávislých řádků. Označujeme ji h(A).

Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme

ji regulární maticí. Je-li h(A) < n, nazývá se taková matice singulární.

Jak určíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice? Je zřejmé,

že v nulové matici neexistuje žádný lineárně nezávislý řádek. Hodnost nulové

matice je tedy rovna nule. V dalším proto uvažujme pouze nenulové matice,

tj. předpokládejme, že je aspoň jeden prvek této matice nenulový. U matice

2 × 2 snadno poznáme, že jsou její řádky lineárně závislé. Nenulová matice A

typu 2×2 má hodnost jedna, pokud je druhý řádek násobkem prvního řádku,

tj. matice je tvaru

A =



a

11

a

12

a

21

a

22



=



a

11

a

12

ka

11

ka

12



,

kde k je nějaké reálné číslo. V opačném případě má matice A hodnost dva.

Příklad 1.9. V příkladě 1.6 jsme viděli, že levé strany systémů (1.2) a (1.3)

lze maticově zapsat pomocí stejné matice



1 1

2 2



.

Hodnost této matice je rovna jedné (lineární závislost řádků je zřejmá). Naproti

tomu levé strany systému (1.1) jsme zapsali pomocí matice



1 1

1 −1



.

Hodnost této matice je rovna dvěma (druhý řádek není násobkem prvního

řádku).

Zkoumání hodnosti matice vyššího typu než 2×2 je již trochu složitější. K vy

šetřování lineární závislosti, resp. nezávislosti řádků matice využijeme násle

dující věty.


18 Matematika pro nematematické obory

Věta 1.10. Hodnost matice se nezmění, jestliže:

1. zaměníme pořadí řádků,

2. vynásobíme libovolný řádek nenulovým číslem,

3. přičteme k danému řádku (nebo odečteme od daného řádku) libovolný

násobek jiného řádku.

Úpravy z předchozí věty souhrnně nazýváme elementární řádkové úpravy. Po

mocí těchto úprav převedeme matici na tzv. schodovitý tvar, ze kterého již

snadno určíme hodnost matice.

Definice 1.11. Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v ma

tici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek.

Je-li nenulová matice A ve schodovitém tvaru, pak svým tvarem skutečně od

povídá tomuto názvu, neboť nuly v matici A tvoří jakési „schody“. Přitom

první řádek může (ale nemusí) začínat nulou (resp. nulami), druhý řádek však

již musí začínat alespoň jednou nulou, třetí řádek musí začínat alespoň dvěma

nulami atd.

Příklad 1.12. Následující matice jsou ve schodovitém tvaru:

A =

1 0 1

0 1 1

0 0 3

, B =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

, C =

1 0 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

.

Věta 1.13. Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových

úprav převést do schodovitého tvaru.

Věta 1.14. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenu

lových řádků.

Příklad 1.15. Uvažujme matice z příkladu 1.12. Jejich hodnost je

h(A) = 3, h(B) = 1, h(C) = 2.

Algoritmus (postup) převodu matice na schodovitý tvar je následující:

1. V prvním kroku převedeme matici do tvaru, kdy má na pozici (1,1) (první

řádek a první sloupec) nenulový prvek a

11

a ostatní prvky v prvním sloupci

jsou nulové, tj.

a

11

⋆ ⋆ ... ⋆

0 ⋆ ⋆ ... ⋆

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 ⋆ ⋆ ... ⋆

,

*




       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz – online prodej | ABZ Knihy, a.s.