načítání...
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl - Růžena Blažková; Irena Budínová

Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl

Elektronická kniha: Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl
Autor: ;

Kniha je určena všem učitelům, rodičům nebo prarodičům, kteří mají ve svém okolí matematicky nadané či šikovné dítě a potřebují získat inspiraci k tvoření dalších úloh pro ... (celý popis)
Produkt teď bohužel není dostupný.

»hlídat dostupnost


hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%   celkové hodnocení
0 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: EDIKA
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF
Zabezpečení proti tisku: ano
Médium: e-book
Počet stran: 96
Rozměr: 26 cm
Úprava: sv. : ilustrace
Vydání: 1. vydání
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-266-1157-8
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis

Kniha je určena všem učitelům, rodičům nebo prarodičům, kteří mají ve svém okolí matematicky nadané či šikovné dítě a potřebují získat inspiraci k tvoření dalších úloh pro rozvoj nadějného matematika. Publikace navazuje na úspěšný 1. díl, který se zabývá rozvojem matematických schopností dětí na 1. stupni základní školy. Zkušené autorky předkládají řadu podnětných úloh pro rozvoj jejich matematického potenciálu, nadání a úrovně myšlení.

Předmětná hesla
Související tituly dle názvu:
Matematika pro bystré a nadané žáky Matematika pro bystré a nadané žáky
Budínová Irena, Blažková Růžena, Vaňurová Milena, Durnová Helena
Cena: 150 Kč
Matematika pro bystré a nadané žáky Matematika pro bystré a nadané žáky
Budínová Irena, Blažková Růžena, Vaňurová Milena, Durnová Helena
Cena: 168 Kč
Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl
Budínová Irena, Blažková Růžena
Cena: 150 Kč
Život s vysokou inteligencí Život s vysokou inteligencí
Stehlíková Monika
Cena: 248 Kč
Život s vysokou inteligencí Život s vysokou inteligencí
Stehlíková Monika
Cena: 124 Kč
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

Matematika pro bystré

a nadané žáky – 2. díl

Vyšlo také v tištěné verzi

Objednat můžete na

www.edika.cz

www.albatrosmedia.cz

Růžena Blažková, Irena Budínová

Matematika pro bystré a nadané žáky – 2. díl – e‑kniha

Copyright © Albatros Media a. s., 2017

Všechna práva vyhrazena.

Žádná část této publikace nesmí být rozšiřována

bez písemného souhlasu majitelů práv.


Růžena Blažková, Irena Budínová

MATEMATIKA PRO BYSTRÉ

A NADANÉ ŽÁKY,

2. DÍL

Edika

Brno

2017


Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl4 —

OBSAH

1/ Úvod 5

2/ Nadaný žák 6

3/ Přístupy bystrých a nadaných žáků k řešení úloh 9

4/ Úlohy 20

4.1/ Počítáme s čísly 20

4.1.1/ Hříčky s čísly 20

4.1.2/ Algebrogramy 24

4.1.3/ Dělitelnost 27

4.1.4/ Poměr 29

4.1.5/ Magické čtverce 30

4.2/ Počítáme s neznámou 34

4.2.1/ Úlohy rovnicového charakteru 34

4.2.2/ Soustavy rovnic 37

4.2.3/ Neurčité rovnice 38

4.2.4/ Kvadratická rovnice 40

4.2.5/ Funkční myšlení 41

4.3/ Geometrie 48

4.3.1/ Geometrická představivost 48

4.3.2/ Početní geometrie 53

4.3.3/ Konstrukční geometrie 59

4.3.4/ Jednoduché důkazové úlohy 61

4.4/ Počítáme možnosti 63

4.4.1/ Kombinatorika 63

4.4.2/ Pravděpodobnost 67

4.4.3/ Statistika 69 5/ Výsledky úloh 77 Literatura 95 1/ Úvod — 5

1/ ÚVOD

Držíte v ruce publikaci, která byla vytvořena s účelem obohatit zajímavými a netypickými úlohami žáky

2. stupně ZŠ a víceletého gymnázia, kteří mají zvýšený zájem o matematiku. Publikace může být využita

jak v přímé výuce, kdy učitel zadává zajímavé úlohy žákům, kteří snadněji porozumí běžnémumatematickému učivu, tak ve volném čase žáků, kdy rodiče spolu s žákem mají zájem o rozvoj žákovamatematického myšlení.

Úlohy jsou voleny tak, aby využívaly možnosti řešit je různými způsoby podle toho, jakýmmatematickým aparátem je aktuálně žák vybaven – např. experimentem, úvahou, rovnicemi, soustavami rovnic apod. Úlohy jsou rozděleny do několika kapitol, avšak jednotlivá témata se často prolínají. Úlohy nejsou jednoznačně zařaditelné a je možno je řešit různými metodami.

Některé úlohy prohlubují učivo základní školy (jedná se o  úlohy s  vyšší náročností, než je běžné na ZŠ) a některé ho rozšiřují, jako kvadratické rovnice, kombinatorika, pravděpodobnost, Euklidovy věty. S těmito tématy se v matematice základní školy obvykle nesetkáme, ale matematicky nadaní žáci mohou být dostatečně mentálně zralí na to, aby problematiku pochopili a úlohy úspěšně řešili. Objevovánínových souvislostí a zákonitostí rozvíjí jejich matematické myšlení. Žáky může problematika zaujmout a být podnětem k hlubšímu studiu.

Dosáhnout správného výsledku je jistě důležité, ale ještě důležitější je cesta, která k  výsledku vedla. Žák by měl být schopen zaznamenat postup řešení, zapsat myšlenkové pochody, které vedly k řešení. U  některých úloh je nezbytná trpělivost při hledání všech řešení. Neměli bychom také zapomínat na  zkoušku správnosti, která umožní najít případnou chybu. Nadaní žáci nejsou neomylní, dělají také chyby, ale je důležité s chybou dále pracovat a poučit se z ní.

Publikace obsahuje ukázky žákovských řešení některých úloh, 37 řešených úloh a  225 neřešených úloh s výsledky.

Autorky děkují doc. PhDr. Šárce Portešové, Ph.D., RNDr. Mileně Vaňurové, CSc. a Mgr. HeleněDurnové, Ph.D. za cenné připomínky, které přispěly ke zkvalitnění textu.

Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl6 —

2/ NADANÝ ŽÁK

Jakého žáka si představíme, když se řekne „nadaný žák“? Každý možná trochu jiného žáka. Někdoza nadaného považuje takového žáka, který plní úkoly rychleji než vrstevníci nebo který nikdy nechybuje.Někdo jiný vnímá nadaného žáka podle hloubky vhledu a pochopení problematiky, bez ohledu na rychlost

plnění úkolů. Pro většinu z nás je však pojem nadání spojen s nadprůměrným výkonem v určité oblasti.

Ani oficiální definice nejsou zcela jednotné. Některé přístupy chápou nadání jako projevvynikajícího, nadprůměrného výkonu, jiné jako potenciál podávat nadprůměrný výkon v jakékoli hodnotnéoblasti, případně jako potenciál rozvíjet svou kreativitu (Havigerová, 2011). Velmi častá je IQ definice, která jako nadaného označuje každého, kdo má nadprůměrnou hodnotu inteligenčního kvocientu, obvykle IQ≥130 (Havigerová, 2011). Tento přístup je výhodný z  pohledu měřitelnosti a  také srovnání výkonů nadaných jedinců. Portešová (2011) uvádí, že význam IQ se v 70. letech 20. století začal přehodnocovat. Začalo se projevovat, že IQ není jedinou stránkou, která ovlivňuje úspěch dítěte v pozdějším životě.Z tohoto důvodu je vhodnější Renzulliho model (1978), který uvažuje tři charakteristiky důležité pronadání, které je využitelné v budoucím životě: nadprůměrné schopnosti, tvořivost a angažovanost v úkolu (Portešová, 2011).

IQ pohled nezohledňuje motivaci jedince a zájem o matematiku. Při vyhledávání nadaných dětí je proto důležité dlouhodobé pozorování žáka. Nadaný žák není neomylný. Důležité ale je, jak s  chybou pracuje. Udělá-li nadaný žák chybu, často jej stačí jen zlehka nasměrovat a ihned se opraví.

Všeobecná inteligence, která je často identifikována IQ testem, nemusí zcela korespondovats matematickými schopnostmi žáka. Gardner (1999) rozděluje inteligenci na sedm druhů. Matematickéschopnosti mohou být ovlivňovány verbální inteligencí (řečové schopnosti, díky nimž žáci mohou dobřeanalyzovat slovní úlohy), logicko-matematickou inteligencí (schopnost rozpoznat, v čem spočívá problém, a vyřešit jej) a prostorovou inteligencí (uplatňující se nejvíce v geometrii).

Člověk se narodí s určitým potenciálem být úspěšný v dané oblasti. Pokud jeho potenciál nenírozvíjen, výkony jedince mohou být nadprůměrné v  prvních letech školního vzdělávání, pak však začnou klesat. My budeme proto nadání chápat jako dispozici k projevení nadprůměrných výkonů v jakékolihodnotné oblasti lidského snažení (Havigerová, Křováčová a kol., 2011: s. 5). Cílem výuky matematiky přitom je tento potenciál objevit a rozvíjet jej tak, aby z něj dítě vytěžilo maximum.

Rozvoj vrozené mentální kapacity závisí na  mnoha faktorech. Významným faktorem pro rozvoj osobnosti člověka je jeho pevné přesvědčení, že je schopen se učit a  být výkonný v  různých oblastech (Campbell, 2001: s. 25). Z  hlediska získávání míry sebedůvěry dítěte v  různých oblastech učení připadá dle Campbella hlavní role rodičům. Kromě zvyšování sebedůvěry mohou rodiče ovlivňovat i postoje a způsoby chování dítěte, jež mu umožní dosahovat úspěchů (Campbell, 2001: s. 26): • Rodiče pomáhají dítěti vypěstovat pracovní návyky, které jsou základem pro učení. • Pomáhají dítěti stanovovat si rozumné cíle, o jejichž splnění bude usilovat. • Pěstují v dítěti jeho přirozené zájmy a jeho vůli učit se novým věcem. 2/ Nadaný žák — 7 • Rodiče pomáhají dětem rozvíjet jejich samostatné myšlení, takže jsou samy schopny řešit problémy

související s učením. • Rodiče vedou své děti k tomu, aby se nedávaly unášet úspěchy a nepropadaly depresi při neúspěších.

Campbell uvádí, že svým přístupem mohou rodiče zvýšit nebo snížit až o 20–30 % studijní výsledky svých dětí.

Dle našich zkušeností mají podobnou možnost působit na své žáky taky učitelé. Ve výucematematiky mohou v žácích pěstovat správné pracovní návyky – např. přehledný zápis zadání, zápis postupu řešení, provádění zkoušky, uvádění odpovědi. Jestliže je nadaným žákům v matematice ponechána možnost řešit úlohy bez zapsání postupu, stávají se z nich tak říkajíc „jednoocí mezi slepými“. Časem přijdou úlohy,které budou příliš obtížné, aby je žáci řešili pamětně. To už ale může být pozdě na to učit se matematickému zápisu.

Dále mají učitelé možnost rozvíjet a  kultivovat u  žáků metody řešení úloh. Většina žáků preferuje během prvních ročníků ZŠ různé experimentální metody. Ty mohou být zcela nahodilé, nebosystematické (tzv. řízený experiment). Prvním krokem je tedy přesun od nahodilé k systematické experimentální metodě. V  dalším kroku je potřebné povýšit experimentální metodu na  některou ze  sofistikovanějších aritmetických metod – různé metody se odvíjí od různých typů úloh. Ve vyšších ročnících ZŠ je potřeba přecházet k algebraickým metodám, které jsou univerzálnější než aritmetické, ale často jsou náročnější. Aby učitel věděl, ve  které fázi vývoje se žák nachází a  které metody u  něj převládají, je nutné, aby byla žákům ponechána svoboda řešit úlohy svým způsobem a také možnost udělat chybu (chyba neníhodnocena jako nedostatek, ale jako ukazatel pro změnu).

O nadaných dětech přetrvává mnoho mýtů. Jedním z nejčastějších mýtů o nadaných žácích je tento: Chytré děti nemají mnoho pracovat. Neboli: Jestliže mnoho pracujete, nejste patrně dost chytří (Campbell, 2001: s. 34). Některé nadané děti dokonce úmyslně maskují to, že k dosažení úspěchu potřebovaly těžkou práci. Pravda je ale taková, že jestliže dítě chce dosáhnout dobrých výsledků v určité oblasti, musí tomu věnovat čas a úsilí.

Dospělí mohou nadané děti podpořit tak, aby efektivně využívaly svůj potenciál. Důležitá je ale míra tlaku. Používají-li rodiče nebo učitelé tlaku velmi často, mohou v dítěti vyvolat strach. Dítě se začne bát, aby neudělalo nějakou chybu, aby nenosilo špatné známky. Jestliže na dítě není naopak vyvíjen téměřžádný tlak, může se jednat až o mírné zanedbávání výchovy

1

(Campbell, 2001: s. 54). Mnohdy rodiče a učitelé

věří tomu, že dítě si vypěstuje potřebné schopnosti a dovednosti samo, bez jakékoli pomoci či tlaku.

Střední míru tlaku rodiče a učitelé vyvíjejí, když chtějí, aby dítě ze sebe vydalo co nejvíce. Požadavky,

jež na dítě kladou, jsou rozumné a dítě je chápe jako realizovatelné.

Ve výuce matematiky mohou učitelé vyvíjet na nadané žáky optimální tlak tím, že jim budou zadávat

úlohy, které odpovídají jejich mentálním možnostem. Rodiče mohou přispět tím, že dítě vedou ke každodenní přípravě do  hodin matematiky a  k  zájmu o  matematiku. Je třeba dávat pozor, aby se domácí

1 To je myšleno v obecné rovině, ale lze zanedbávat také rozvoj matematických schopností dítěte, kdy dítě

nedostává v matematice podněty podle svého potenciálu.


Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl8 —

příprava nepřehnala a nejednalo se o nepřiměřený tlak. K tomu může dojít třeba v případě, že dítě musí

dennodenně sedět nad matematikou hodinu i více. Tím lze dítě až demotivovat.

Nadaní žáci mají rozmanité projevy chování. U některých nadaných žáků nemusí být nadání vůbec

patrné. Někteří nadaní žáci se ve výuce projevují takovým způsobem, že učitelé o nich naopak soudí, že

nemají pro matematiku dostatek schopností. Takový rozpor mezi skutečným a  očekávaným výkonem

může mít řadu příčin. Ve výuce také nesmíme zapomínat na nadané žáky podvýkonné a na žáky s dvojí výjimečností.

Podvýkonnými dětmi rozumíme děti, které dlouhodobě školsky neprospívají a potřebují speciální

péči, nebo prospívají (mohou mít dokonce samé jedničky), ale nenaplňují svůj potenciál. Podvýkonnost

může mít různé příčiny: nepřiměřený tlak okolí na dítě (ať už malý, nebo naopak velký), touha zařadit se

mezi vrstevníky, nízké sebevědomí aj. Podvýkonné děti mají společné znaky, které se projevují v oblasti

učení i chování. V oblasti učení se jedná zejména o tyto znaky: žák z nějakého důvodu zatajuje své vysoké

schopnosti (např. se snaží o  přízeň vrstevníků); má chabé pracovní návyky, malou výdrž, nedokončuje

práci; obecně má malou schopnost koncentrace, ale dokáže se koncentrovat u  činností, které jej baví;

je frustrován nečinností a  nedostatkem podnětů; často o  všem diskutuje, ale má malou schopnost naslouchat; atd. (Thomson, 2006). V oblasti chování se jedná nejčastěji o tyto znaky: nedodržuje pravidla

třídy, je konfrontační; neudrží pozornost; ignoruje potřeby druhých; vyrušuje spolužáky; může se jevit

znuděný, frustrovaný, tvrdohlavý a nespolupracující; může se zdát, že zabíjí čas a je duchem nepřítomný;

nemá trpělivost se spolužáky, kteří přemýšlí pomaleji; nekomunikuje dostatečně se spolužáky či učitelem;

preferuje samostatnou práci a věnuje se vlastním zájmům; cítí se omezený restrikcemi, pracuje vlastním

způsobem a  tempem; atd. (Thomson, 2006). Snad každý učitel se setkal se žákem, který se projevoval

právě takto. Je-li nekonformní chování žáka způsobeno podvýkonností, potřebuje žák pomoc ze strany

učitele a trpělivé vedení, aby se postupně začal uplatňovat a rozvíjet jeho talent.

Dvojí výjimečnost je kombinace intelektového nadání a  určitého postižení či specifických potíží,

které mohou ovlivnit učení. Sociální a behaviorální obtíže do této kategorie spadají pouze jako část jiných

podmínek ovlivňujících učení (Thomson, 2006: s. 26). Jedná se o nadané děti s vývojovými poruchami

– např. dyslexií, dyspraxií, autismem (Aspergerův syndrom), ADHD, poruchami řeči. Tyto děti vyžadují

velmi individuální přístup a velkou trpělivost od učitele.

Největší část skupiny nadaných s  handicapem tvoří nadané děti s  dyslexií. Zároveň jde o  jedinou

skupinu nadaných s postižením, u níž nemusí být jejich handicap tak zjevný a nápadný (Portešová, 2011).

Tyto děti mívají neúhledný zápis, který způsobuje vznik mnoha chyb. Nejsou např. schopny správně pod

sebe zapsat písemné sčítání či násobení, vynechávají číslice nebo zaměňují jejich pořadí, nejsou schopny

zapsat číslo podle diktátu nebo správně přečíst zapsané číslo. Nadané děti s dyslexií potřebují od učitele

podporu a pomoc v oblasti čtení a psaní matematických zápisů, aby se eliminovaly numerické chyby.

Velmi náročná je pro učitele práce s  nadanými dětmi s  Aspergerovým syndromem nebo ADHD.

Tyto děti mají specifické projevy chování a vyžadují od učitele velkou dávku trpělivosti.


3/ Přístupy bystrých a nadaných žáků k řešení úloh — 9

3/ PŘÍSTUPY BYSTRÝCH A NADANÝCH

ŽÁKŮ K ŘEŠENÍ ÚLOH

V  následující kapitole bychom chtěly upozornit na  to, že výkony žáků, kteří jsou nadaní (všeobecně či

matematicky) nebo se v  matematice projevují nějakým způsobem nadprůměrně, nemusí být na  první

pohled excelentní. Nadaní a bystří žáci se vyznačují tím, že rádi promýšlí problémy – to ale nemusíkore

spondovat s rychlým, elegantním a přímočarým řešením matematických problémů. Někdy právě naopak,

řešení mohou být krkolomná, obsahující nejrůznější chyby. Cílem potom není ohodnotit žákovo řešení

jako nesprávné, ale podiskutovat s ním o jeho způsobu uvažování a navést ho na správnou cestu.

Velmi často se také u nadaných a bystrých žáků setkáváme s rozšířenými nešvary, jako je např.ab

sence zkoušky úlohy a zapsání odpovědi. Právě neprovádění zkoušky mnoha žákům znemožní nalezení

chyby ve výpočtu nebo v úvaze.

V textu se nebudeme zabývat pouze žáky, kteří byliPedagogickosychologickou poradnouidenti

fikováni jako nadaní. Nechaly jsme si od  učitelů vytipovat žáky různého spektra – šikovné, jedničkáře,

přemýšlivé aj. Učitel má totiž možnost žáka pozorovat v dlouhodobém horizontu a řekne nám o něm více

než výsledek jednoho testu na identifikaci nadání. Navíc mnoho učitelů podotýká, že většina šikovných

žáků odchází ze základních škol na víceletá gymnázia.

Příklad 1. Z dědictví dostal první syn třetinu, druhý syn třetinu zbytku, třetí syn dvě třetiny zbytkupo dru

hém a dcera to, co zbylo. Zapiš zlomkem, jakou část dědictví každý z nich dostal.

To, že pro žáky jsou zlomky velký problém, je známý fakt. I přesto pro nás bylo velkým překvapením,

že asi tři čtvrtiny žáků (od 7. ročníku výše) vytipovaných učiteli jako v  určitém ohledu nadprůměrní

v matematice si s uvedenou úlohou vůbec neporadily.

Úlohu mohli žáci řešit dvojím způsobem – graficky nebo početně. Graficky lze postupovat např. tak,

že celé dědictví znázorníme podlouhlým obdélníkem (viz obr. 1). Rozdělíme jej na třetiny, jedna třetina je

podíl dědictví prvního syna. Abychom mohli vyznačit část druhého syna, je třeba zbytek úsečky rozdělit

tak, abychom mohli znázornit třetinu zbytku. Rozdělíme každou část zbývající úsečky na třetiny. Zbytek

úsečky je nyní rozdělen na šest devítin, druhému synovi přísluší

2

3

z toho, tedy

8

27

. Pro třetího syna nyní

zjistíme dvě třetiny zbývající části, tedy

8

27

celé úsečky. Zbývající

4

27

přísluší dceři. Postup v jednotlivých

krocích je znázorněn na obr. 1. Odpověď tedy zní, že 1. syn dostal

91

27 3

= dědictví, 2. syn

62

27 9

= dědictví,

3. syn

8

27

a dcera

4

27

dědictví. Provedeme zkoušku správnosti:

12 8427

1

3927 27 27

++ +== .


Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl10 —

podíl 1. syna 2. syna3. syna dcery

Obr. 1: Grafické znázornění zlomků – postup rozdělený do kroků

Řešit úlohu početně vyžaduje schopnost analýzy – žák musí neustále zvažovat, jaká část celku zbývá.

Dále musí vědět, jak počítat zlomek ze základu. Potom: 1. syn dostal

1

3

dědictví, zbyly

2

3

dědictví, 2. syn

dostal

12 2

33 9

⋅= dědictví, zbylo

22624

39999

−=−= dědictví, 3. syn dostal

24 8

39 27

⋅= dědictví, dcera dostala

12 8279 684

1

3927 27 27 27 27 27

−−−=−−−= dědictví.

Žáci se s řešením velmi trápili. Projevilo se, že nemají mnohdy vytvořenou představu zlomku jako

části celku, že neumí provádět operace se zlomky (mnohde se objevil zápis např.

1

3

ze 

2

3

, ale už nikoliod

povídající výpočet

12 2

33 9

⋅=), že nejsou schopni úlohu správně analyzovat. Když použili grafickéznázor

nění, jednalo se více o hádání než o smysluplné řešení.

Žákyně 8. ročníku se pokusila o grafické znázornění. Rozhodla se pro nevhodné znázornění zlomků

do kruhu. Odhadovala z obrázku části celku (viz obr. 2). Část 3 je podle obrázku větší než část 2, přesto jí

přisoudila menší zlomek. Nakonec se ani nepokusila zkontrolovat, zda součtem zlomků dostane číslo 1.

Obr. 2: Pokus o grafické řešení žákyní 8. ročníku

Bystrá žákyně 8. ročníku nejdříve také chtěla situaci znázornit pomocí kruhu. Po chvíli ale obrázekzabě

lila a rozhodla se pro znázornění pomocí úsečky. Úlohu díky tomu zvládla správně vyřešit (obr. 3).


3/ Přístupy bystrých a nadaných žáků k řešení úloh — 11

Obr. 3: Správně vyřešená úloha pomocí vhodného grafického znázornění

Žák 9. ročníku (učitelkou popsaný jako studijní typ s rozvinutým logickým uvažováním) začal správně

výpočet podílu druhého syna, ale pak výsledek z  nějakého důvodu přeškrtal (obr. 4). Další postup byl

zmatečný.

Obr. 4: Pokus o řešení žákem 9. ročníku

Žákyně navštěvující 4. ročník víceletého gymnázia (tj. 9. ročník) se zaměřením na matematiku správně

úlohu vyřešila početně (viz obr. 5). Vypověděla, že výpočet byl pro ni pracný a nejnáročnější pro ni bylo

si uvědomovat, jaká část dědictví zbyla.

Obr. 5: Správně vyřešená úloha


Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl12 —

Příklad 2. Žáci dostali dvě analogické úlohy, které se od sebe lišily pouze velikostí čísel:

a) Když dvě různá čísla sečteš, dostaneš 15. Když od většího odečteš menší, dostaneš 9. Která

jsou to čísla?

b) Když dvě různá čísla sečteš, dostaneš 10 000. Když od většího odečteš menší, dostaneš 6 666.

Která jsou to čísla?

První variantu většina žáků byla schopna vyřešit pamětně. Pamětné řešení v tomto případě obvykleprobíhá metodou pokusu a omylu, kdy žák dosazuje za neznámé různé hodnoty, ale postup nemusí zapisovat.

Druhou variantu vyřešilo správně mnohem méně žáků (zhruba polovina oproti první variantě). Velká

čísla jim znemožnila vytvořit představu, kterou jednoduše použili v první variantě. Ani žáci 9. ročníku,

kteří měli k dispozici aparát soustavy rovnic, nebyli mnohdy v řešení úspěšnější. Buď nedokázali vytvořit

správně soustavu rovnic, nebo ji vytvořili, ale nedokázali ji řešit. Na obr. 6 vidíme, že žákyně 9. ročníku

(učitelkou popsaná jako šikovná, přemýšlivá, jedničkářka v matematice) použila k řešení první varianty

metodu pokusu a omylu – zapisovala všechny celočíselné rozklady čísla 15 a vybrala ten, který splňoval

i druhou podmínku, tj. 9 − 6 = 3. Jedná se o ne příliš sofistikovanou (tj. promyšlenou, formálněpropracovanou) aritmetickou metodu.

Obr. 6: Žákyně 9. ročníku postupuje metodou pokusu a omylu

Pro druhou variantu stejná žákyně sestavila soustavu rovnic. Nebyla ji ale schopna řešit (viz obr. 7).

Obr. 7: Stejná žákyně není schopna vyřešit sestavenou soustavu rovnic

Na uvedeném příkladě je patrné, že zřejmě neexistuje jednoduchý transfer mezi analogickými úlohami

s  malými a  velkými čísly. U  úloh s  malými čísly jsou žáci schopni využít představu. Úlohu pak mohou

řešit i pamětně, a to s využitím experimentálních metod. Na základě toho nelze předpokládat, že žák bude

schopen stejnou strategii využít i u úlohy s velkými čísly. Tyto úlohy se obvykle řeší snadněji sestavením

rovnice či soustavy rovnic, což vyžaduje algebraický způsob uvažování, který žák nemusí mít vůbecvyt voře ný.

Žák 9. ročníku (učitelkou popsaný jako velmi rychlý v početních operacích s laxním přístupemke škole, jedničkář v matematice) objevil chytrý způsob řešení první varianty: uvědomil si, že když od součtu

dvou čísel odečteme jejich rozdíl, dostaneme dvojnásobek menšího čísla. Postup vidíme na obr. 8.


3/ Přístupy bystrých a nadaných žáků k řešení úloh — 13

Obr. 8: Žák 9. ročníku řeší úlohu úvahou

Všimněme si, že žák uvažoval správně, ale jeho zápis v prvním řádku není v pořádku. Podle tohoto zápisu

totiž platí 15 − 3 = 6, což není pravda. Těmto zápisům říkáme implikační zápisy (vedou v jednom směru)

a žáci je používají ke zkrácení výpočtu. Správně by měl být zápis rozdělen do dvou kroků: 15 − 3 = 12,

12 : 2 = 6.

Je třeba upozornit, že „zkracování“ zápisu zabraňuje žákům v přechodu k algebraickémuekvivalenčnímu uvažování, které je zapotřebí k řešení rovnic. Zejména u rovnic, kde se neznámá vyskytuje na obou

stranách rovnice, např.

2

76

2

x

x

+= , nelze postupovat v jednom směru.

Protože žákovo řešení je založeno na úvaze, a nikoli na dosazování čísel, mohl stejnou strategii použít

i na druhou variantu. To také udělal, ale v úspěšném řešení mu zabránila neschopnost efektivně počítat

s velkými čísly (obr. 9). Žáci mají bohužel často malou počtářskou zkušenost a velké problémy jim činí

např. sčítání a odčítání s několika přechody přes základ. Nejdříve špatně odečetl 10 000 6 666− a pak ještě nesprávný rozdíl 3 444 špatně vydělil dvěma. Nemohl se tedy dopočítat výsledku.

Obr. 9: Stejný žák používá tutéž úvahu, ale dělá numerické chyby

Existují tedy žáci s vysokým intelektem a rozvinutým logickým myšlením, kterým chybí počtářskázkušenost a její absence jim brání řešit náročnější úlohy. Nesmíme však zapomínat na žáky, kterým nechybí

snaha a píle, ale základní výpočty jim přesto činí velké problémy. Často se jedná o nadané děti s dyslexií,

které zvládnou náročnější logické úlohy velmi snadno, zatímco jednoduché vyřeší jen s velkými obtížemi.

Portešová (2011: s. 73) uvádí, že „nadané děti s dyslexií mají obvykle vynikající schopnost vysoceabstraktního a logického myšlení, dovedou vytvářet abstraktní koncepty neslovní povahy, rychle porozumí vzájemným

vztahům mezi nimi, umí porovnávat nejrůznější alternativy a klást otázky, které jejich myšlení dále vedou.

Mnohým z nich činí problémy používat jednoduché způsoby myšlení, založené na naučené, zapamatované

a zautomatizované reakci či odpovědi.“ U těchto dětí někdy bývá selhávání v jednoduchých úkolechhodnoceno jako jednoznačný důkaz absence nadání a nedostatek píle či zájmu.

Matematicky nadaní žáci 9. ročníku druhou variantu úlohy řešili téměř výlučně algebraicky, pomocí

soustavy rovnic (obr. 10). Úloha pro ně byla jednoduchá na úvahu i na početní úkony.


Matematika pro bystré a nadané žáky, 2. díl14 —

Obr. 10: Algebraické řešení matematicky nadaným žákem 9. ročníku

Příklad 3. Když Aleš za 7 let vynásobí svůj věk pěti, vyjde mu 90. Kolik je mu let?

Úlohu mohli žáci řešit algebraicky sestavením rovnice, nebo aritmeticky metodou od konce. Většina žáků

volila aritmetické řešení. Občas se dopouštěli různých logických či numerických chyb. Žákyně 6. ročníku

(učitelkou popsaná jako dobrá na  početní operace, jedničkářka z  matematiky) si zřejmě neuvědomila,

že vypočítala věk Aleše za 7 let (obr. 11). Neprovedla zkoušku správnosti a tím nezjistila, že je výsledek

nesprávný.

Obr. 11: Nedokončené řešení

Při řešení aritmetickou metodou od konce se využívá inverzních operací, tedy 90 : 5 = 18, 18 − 7 = 11.

Tento postup je vhodné žákům 6. a 7. ročníku, kteří nemohou použít aparátu rovnic, znázornit pomocí

šipkového diagramu (viz Vergnaud, 2009):

90

+7 . 5

: 5-7

Obr. 12: Šipkový diagram

Žákyně 7. ročníku (učitelkou popsaná jako přemýšlivá se všeobecným rozhledem a  dobrými nápady

v  matematice) použila aritmetický postup řešení od  konce (obr. 13). Opět se setkáváme se zkráceným

implikačním zápisem.

Obr. 13: Metoda řešení od konce. Zápis je implikační




       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz - online prodej | ABZ Knihy, a.s.
ABZ knihy, a.s.
 
 
 

Knihy.ABZ.cz - knihkupectví online -  © 2004-2018 - ABZ ABZ knihy, a.s. TOPlist