načítání...


menu
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Matematické schopnosti -- Teoretický přehled a jejich měření – Hynek Cígler

Matematické schopnosti -- Teoretický přehled a jejich měření

Elektronická kniha: Matematické schopnosti
Autor: Hynek Cígler
Podnázev: Teoretický přehled a jejich měření

Autor, dlouhodobě se zaměřující na psychometriku, statistiku a metodiku psychologického výzkumu, předkládá přepracovanou verzi své dizertační práce, v níž se zabýval testy matematických schopností a dovedností u dětí. Nejprve se vypořádal s ... (celý popis)
Titul je skladem - ke stažení ihned
Médium: e-kniha
Vaše cena s DPH:  289
+
-
9,6
bo za nákup

ukázka z knihy ukázka

Titul je dostupný ve formě:
elektronická forma ELEKTRONICKÁ
KNIHA

hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%   celkové hodnocení
0 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: » Masarykova univerzita
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF
Upozornění: většina e-knih je zabezpečena proti tisku a kopírování
Médium: e-book
Rok vydání: 2018
Počet stran: 199
Rozměr: 21 cm
Úprava: ilustrace
Vydání: 1. vydání
Skupina třídění: Vývojová psychologie. Individuální psychologie
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-210-9009-5
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis / resumé

Autor, dlouhodobě se zaměřující na psychometriku, statistiku a metodiku psychologického výzkumu, předkládá přepracovanou verzi své dizertační práce, v níž se zabýval testy matematických schopností a dovedností u dětí. Nejprve se vypořádal s definicí pojmu schopnost a dovednost a dějinami měření matematické inteligence. Posléze poukázal na nejrůznější současné metody studia. V další části se věnoval vývojové psychologii s ohledem na osvojování matematických konceptů (množství, počet, číslo), poruchám učení a posouzení vztahu inteligence a matematického nadání. Poslední, nejrozsáhlejší kapitola pak shrnuje praxi vlastního měření a přípravy testů, včetně jejich vyhodnocení a interpretace.

Popis nakladatele

Kniha se primárně zaměřuje na psychologický pohled na matematické znalosti a dovednosti s důrazem na možnosti jejich měření. Podrobně rozebírá matematické myšlení z psychometrického, kognitivního, kulturního i vzdělávacího hlediska. Zaměřuje se například na rozdíly mezi muži a ženami, příčiny chybných řešení, neuropsychologické procesy zodpovídající za zpracování číselných informací a jejich vztah k jazykovému pojmenování. Kromě toho předkládá přehled testů matematických schopností a dovedností v současné době dostupných v České republice. Teoretický přehled je doplněn o elaboraci vybraných aspektů psychometrického Raschova modelu, kromě toho předkládám i výsledky vlastního výzkumu, který testuje vybranou hypotézu týkající se „kognitivních prerekvizit“ vyššího matematického usuzování.

(teoretický přehled a jejich měření)
Předmětná hesla
Zařazeno v kategoriích
Hynek Cígler - další tituly autora:
Matematické schopnosti -- Teoretický přehled a jejich měření Matematické schopnosti
 
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

EDIS

Ediční řada disertačních prací

Fakulty sociálních studií Masarykovy univerzity

Svazek 19


Masarykova univerzita

Brno 2018

MateMatické

schopnosti

te oretický přehled a jejich měření

Hynek Cígler


Recenzovali:

PhDr. Martin Jelínek, Ph.D. Psychologický ústav (Filozofická fakulta MU)

prof. PhDr. Jiří Kožený, CSc. (Národní ústav duševního zdraví, 3. lékařská fakulta UK)

Publikace byla vydána s finanční podporou Fakulty sociálních studií MU

jako součást edice EDIS. Cílem edice je podpora publikačních aktivit badatelů,

kteří získali titul Ph.D.

© 2018 Masarykova univerzita

© 2018 Hynek Cígler

ISBN 978-80-210-9010-1

ISBN 978-80-210-9009-5 (brož. vaz)


po děkování

Poděkování: Janě za trpělivost po bezesných nocích strávených prací na

dizertaci, ze které tato kniha vznikla. Tomáši Urbánkovi za pečlivou

supervizi tohoto elaborátu a  vedení během mého doktorského studia.

V neposlední řadě pak mým kolegům, kteří mě naučili mnoho věcí, které

jsem při přípravě textu využil  – jmenovitě zejména Standovi Ježkovi,

Honzovi Širůčkovi a Michalu Jabůrkovi. A samozřejmě i všem ostatním,

kteří se do i tak už dost roztahaného poděkování prostě nevejdou.



7

obsah

ob sah

PřEDMlUva aUtoRa ...................................11

ÚvoD ....................................................13

Matematické schopnosti nebo dovednosti?.....................15

Shrnutí přístupů ke studiu matematických schopností ...........19

PSyCHoMEtRICKy-FaKtoRový PříStUP KE StUDIU MatEMatICKýCH SCHoPNoStí .............21

Potíže se specifikací modelu .................................22

CHC teorie a stručná historie faktorového studia výkonových testů ..............................................24

Zařazení matematických schopností v rámci CHC ..............27

KogNItIvNě-INFoRMačNí PříStUP KE StUDIU MatEMatICKýCH SCHoPNoStí.........................34

Kognitivní procesy vedoucí ke správnému řešení ...............35

Hypotéza konzistentního jazyka..............................38

typické kognitivní chyby při zpracování informace .............40

Klasifikace „racionálních“ chyb: REaSoN model ...............42

KogNItIvNě-KUltURNí PříStUP KE StUDIU

MatEMatICKýCH SCHoPNoStí.........................44

Piagetovský konstruktivismus v matematice ...................45

Senzomotorické stadium ....................................48

Preoperační stadium (cca 2–7 let)...........................49

Stadium konkrétních operací (cca 7–11 let) ..................50

Stadium formálních operací (od cca 11 let)...................50

MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

8 Neonativistický přístup. vývoj představy čísla a aritmetických dovedností ..................................51

vývoj prearitmetických a preverbálních matematických

schopností: kardinalita, ordinalita...........................52

vývoj enumerativních a aritmetických schopností.............60

Shrnutí kognitivně-kulturního přístupu ke studiu

matematických schopností...................................71

KogNItIvNě-vZDělávaCí PříStUP

KE StUDIU MatEMatICKýCH SCHoPNoStí .............74

Kontext pro hodnocení míry porozumění

matematickému problému...................................74

Dynamické testování matematických schopností................76

Rozdíly v matematickém výkonu a schopnostech na základě motivace a pohlaví................................76

vySoCE NaDPRůMěRNé vS. vySoCE PoDPRůMěRNé

MatEMatICKé SCHoPNoStI ............................80

Specifické poruchy učení v matematice........................80

typické symptomy dětí se specifickou poruchou učení

v matematice .............................................85

Enumerace............................................85

Relace a základní operační vztahy........................85

Základní aritmetické operace............................86

Pracovní paměť........................................87

Etiologie a prevalence dyskalkulie...........................88

Mimořádné matematické nadání .............................90

Kognitivní nadání jako předčasná vyspělost ..................91

Kognitivní nadání jako soubor specifických schopností ........92

Matematické nadání: shrnutí ...............................93 obsah tESt y PoUžívaNé K MěřENí MatEMatICKýCH

SCHoPNoStí a DovEDNoStí v čR ......................95

test pro identifikaci nadaných žáků v matematice u žáků 3.–5. třídy (tIM

3–5

) ....................................96

Diagnostika struktury matematických schopností (DISMaS)......96 Posuzovací škály a didaktické testy k vyhledávání nadaných žáků (baterie IDENa) ...............................97

Neuropsychologická batéria testov na spracovávanie čísiel

a počítanie u detí (ZaREKI)...................................98

Percepčně numerický test, barevná kalkulie a kalkulie Iv..........98

Matematické předpoklady dětí v mladším školním věku, vyšetření matematických schopností u dětí......................99

Diagnostika matematických schopností a dovedností . . . . . . . . . . . . 100

Další testy..................................................100

SHRNUtí ÚvoDU a výZKUMNé CílE PRáCE ...........101

Dimenzionalita škál testů matematických schopností...........103

Možnosti Raschova modelu při vývoji matematických testů .....104

StUDIE 1: DIMENZIoNalIta MatEMatICKýCH tEStů..106 Metoda ..................................................108

výzkumný vzorek a použité metody........................108

Statistická analýza dat ....................................108

Paralelní analýza (Pa) .................................110

MaP, vSS, BIC .......................................112

výsledky .................................................112

tIM

3–5

.................................................112

DISMaS................................................117

Součtové skóry, srovnání dětí podle výkonu i populace ....117

Subtesty, srovnání podle populace.......................120

Subtesty, srovnání podle výkonu ........................123

Diskuze ke studii 1 ........................................125

limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

Závěr ..................................................128


MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

10 StUDIE 2: RaSCHův MoDEl ............................129

Polytomní Raschovy modely................................131

Ilustrace využití obtížností a prahů položek..................133

Informační funkce položky a testu ...........................137

Ilustrace využití informací o informační funkci

a chybě měření ..........................................141

odhad reliability v rámci IRt ...............................142

Ilustrace využití odhadů reliability při konstrukci

a ověřování testu.........................................145

Shoda dat s modelem ......................................147

Na úrovni modelu........................................147

Na úrovni položek a respondentů ..........................149

DIF analýza ..............................................151

Ilustrace využití DIF analýzy ..............................154

Skóry založené na Raschově modelu .........................156

Ilustrace využití skórů založených na IRt ...................160

DoSlov ................................................162

lItERatURa............................................164

PříloHy................................................187

Příloha 1: Intervaly spolehlivosti vlastních hodnot .............187

Příloha 2: Paralelní analýza testu DISMaS (dle vzorku).........187

Příloha 3: Podrobné výsledky ostatních analýz počtu faktorů (DISMaS, dle vzorku).........................191

Příloha 4: Paralelní analýza testu DISMaS (dle výkonu) ........192

Příloha 5: Podrobné výsledky ostatních analýz počtu faktorů (DISMaS, dle výkonu) ........................195

SUMMaRy ..............................................197


11

předMluva autora

př edMl uva autora

Držíte v rukou knihu, která vznikala v průběhu dvou velmi krušných období. První z  nich byla druhá polovina roku 2016, kdy jsem po nocích usilovně dokončoval svou dizertační práci. Zřejmě mi to nestačilo, a proto jsem se rozhodl text přetavit do knižní podoby – trvalo více než rok, než jsem se odhodlal začít, a toto pokračování mělo na svědomí další šediny na mé hlavě a  rovněž zdržení jiných projektů, které měly být dávno dokončeny. Nicméně je podle všeho hotovo.

Původním cílem mé dizertační práce bylo prozkoumat možnosti měření matematických schopností a dovedností. Po obsáhlém teoretickém úvodu a  elaboraci vybraných pasáží Raschova modelu proto následovaly tři výzkumné studie. Dvě z nich však byly k dnešnímu dni publikovány ať už knižně (v jiné verzi, obsah je však dosti podobný) nebo časopisecky (v  tomto případě v  prakticky identické podobě), nemá tedy smysl je zde uvádět potřetí.

Zaměřil jsem se proto na zbytek práce, mírně změnil její strukturu a  zejména ji jazykově upravil  – pokusil jsem se doplnit četná vysvětlení, zjednodušit tok textu a celkově vše zpřehlednit. Zda se mi to podařilo, nedovedu dost dobře posoudit. I  přes zmíněné úpravy však naprostá většina obsahu vychází z dizertační práce a je zpravidla přebírána doslovně bez dalších citací. Cílem této knihy je v první řadě seznámit vás s psychologickým pohledem na matematické schopnosti – ať už s jejich vztahem k jiným kognitivním, zejména intelektovým charakteristikám, tak i s jejich „kognitivními prerekvizitami“, tedy psychickými funkcemi zodpovědnými například za vjem množství, včetně způsobu jejich vývoje v  dětství. Právě tyto funkce, spolu s  antropologickým výzkumem matematických schopností, považuji za velmi zajímavé, což je zřejmě patrné z většího prostoru, který jsem jim věnoval. Zmiňuji ale i další vybraná témata: například typické příčiny a souvislosti chybných nebo naopak správných řešení matematických problémů, rozdíly v matematických schopnostech podle pohlaví, specifika osob s  dyskalkulií či naopak matematickým nadáním. v  neposlední řadě jsem pak sestavil (jak

MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

12 doufám) vyčerpávající přehled všech významnějších a  používaných matematických testů dostupných v české republice k dnešnímu datu.

Myslím, že tento teoretický přehled je přímo možné použít jako studijní materiál a díky poměrně bohatému poznámkovému aparátu rovněž jako „rozcestník“ k dalším výzkumům. Kromě toho lze z prezentovaných informací vycházet při konstrukci nových testů matematických schopností a dovedností. tento postup jsem ostatně zvolil s kolegy Michalem Jabůrkem a Jiřinou Bednářovou, když jsme začínali pracovat na pilotní verzi naší zcela nové baterie testů matematického výkonu. Zatím se zdá, že se osvědčil.

Na tento přehled pak navazuje jedna výzkumná studie, testující dílčí hypotézu týkající se kognitivních prerekvizit, které by měly způsobovat rozdíly v pozorované faktorové struktuře mezi dětmi s vyššími a nižšími matematickými dovednostmi. tato hypotéza se nepotvrdila, ale nebylo ji možné ani spolehlivě zamítnout – důsledky pro další praxi a diagnostiku dyskalkulie jsou podrobně diskutovány.

Poslední kapitolu snad ocení psychometricky orientovaní kolegové. týká se vybraných aspektů Raschova modelu se zaměřením na konkrétní praxi při tvorbě (nejen) matematických testů, vyhodnocování shody dat s  modelem, analýzy reliability a  konstrukci intervalů spolehlivosti; kromě toho v ní prezentuji i některé další vlastní myšlenky, zejména stran tzv. lokální reliability (srov. Daniel, 1999). tato část slouží jednak jako jakýsi externí doplněk psychometrických analýz testu tIM

3–5

, na kterých jsem se podílel, jednak může v budoucnu

sloužit dalším psychometrikům při standardizaci jiných, nejen matematických testů.

Přeji pěkné čtení!

Hynek Cígler,

v Brně dne 31. března 2018


13

Úvod

Úvod

Psychologové se o matematické schopnosti zajímali po většinu celého

20. století a ani dnes tomu není jinak

1

. První výzkumy tyto schopnosti

chápaly zejména jako součást inteligence  – jejich souvislosti s  teh

dejším pojetím obecné inteligence (g-faktoru) byly zřejmé a  zdálo

se, že s ní souvisejí dokonce těsněji, než schopnosti zjišťované jinými

výkonovými testy (např.  Buckhingam, 1921). Hned po první světo

vé válce navíc agnes l. Rogersová (1919) shrnula tehdejší způsoby

měření matematických schopností, přičemž pojmenovala dva dosud

používané hlavní přístupy, které bychom z dnešního hlediska označili

jako rychlost zpracování (mnoho snadných položek, omezený čas)

a  dosaženou vývojovou úroveň (položky se vzrůstající obtížností od

velmi snadných po velmi obtížné, které umístí dítě „na škále“). toto

rozdělení však samozřejmě nebylo zcela nové a používalo se již mno

hem dříve (viz např. o’Shea, 1901).

Nadšení a. l. Rogersové (1919) pro psychologické, či spíše peda

gogické testování nicméně bylo vysoké: první standardizovaný ame

rický test středoškolské matematiky byl publikovaný teprve v  roce

1914, přičemž během následujících čtyř let se produkce těchto testů

natolik zvýšila, že testování nabíralo na významnosti. Podle Roger

sové (1919) dokonce měli učitelé nahradit subjektivní a  nespoleh

livé známkování „objektivním, nezkresleným a  přesným měřením“

(s. 162). Z tohoto hlediska jsou více než zajímavé výsledky ověřování

„prediktivní validity“ těchto prvních testů, tedy schopnosti predikovat

budoucí nezávislé hodnocení na základě předchozího testového vý

sledku (samozřejmě za použití dnešní terminologie). výsledek hodinu

a půl dlouhého matematického testu koreloval r = 0,82 s budoucím,

blíže nespecifikovaným matematickým výkonem studentů. Rogersová

též pojmenovala důležitý jev týkající se testů školních znalostí, a  to,

že jednotlivé testy lze rozdělit do tří oblastí, přičemž úlohy ze stejné

oblasti pak spolu zpravidla korelují těsněji než úlohy z jiných oblastí.

1

ten to odstavec částečně vychází z teoretického úvodu k testu DISMaS, jehož

jsem autorem (Cígler, 2013).


MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

14 Z dnešního hlediska jde o vcelku banální použití faktorové analýzy, je však nutné si uvědomit, že tehdy šlo o vysoce moderní směr uvažování, vždyť základy analýzy hlavních komponent položil Pearson v roce 1901, základy faktorové analýzy pak o  tři roky později Spearman (1904b). S rozpracováním způsobu odhadu hlavních komponent pak přišel až Cyril Burt v  roce 1917, tedy pouhé dva roky před článkem Rogersové. (cit. dle thorndike, 2005)

tři hlavní oblasti školních dovedností, které Rogersová (1919)

zmiňuje, jsou algebra, geometrie a jazykové dovednosti. tyto „kompozity“ pak spolu navzájem korelují v rozmezí 0,38–0,42

2

, přičemž se

nezdá, že by algebra a geometrie spolu byly v těsnějším vztahu než s jazyky. to do jisté míry odpovídá moderním přístupům např. v rámci CHC teorie, kde by šlo o vizuálně-prostorové (Gv), kvantitativní

3

 (Gq)

a  jazykové (Grw) schopnosti tvořící samostatné faktory ze  strata  II (faktory druhého řádu, kam spadá například krystalizovaná inteligence Gc, krátkodobá paměť Gsm a další; viz např. Flanagan a Dixon, 2014). Celkově však byly první testy založeny spíše na různých matematických úlohách odvozených ze školního kurikula než z teorie kognitivního zpracování a  nějakých modelů matematického usuzování, jak tomu zpravidla bývá dnes. Škály se zabývaly algebraickými operacemi, slovními úlohami, číselnými řadami, analýzou numerických dat, induktivním usuzováním na obecná pravidla či naopak deduktivním hledáním vztahů mezi objekty. I přes tuto značnou obsahovou roztříštěnost spolu jednotlivé škály relativně silně korelovaly. Jak už jsem uvedl výše, Rogersová (1919) pro ně proto používala termín „matematická inteligence“ a  považovala ji za relativně nezávislou na učení, což je samozřejmě z dnešního pohledu poněkud troufalé. 2

J e zajímavé, že po použití tehdy jen pár let staré Spearmanovy (1904a) korekce

proti nereliabilitě (tedy pravděpodobně, tehdejší terminologie byla odlišná)

pak Rogersová (1919) uvádí korelace v rozmezí 0,49–0,56. Z toho totiž může

me usuzovat na reliabilitu tehdejších testů školních dovedností, která se mohla

pohybovat zhruba okolo 0,75. v tomto ohledu je tedy pozoruhodná hodnota

uvedené prediktivní validity, která je paradoxně zřejmě vyšší (anebo přinej

menším shodná) než reliabilita prezentovaných testů. tento fakt proto bohužel

vrhá nepřívětivé světlo na celé prezentované výsledky. 3

„ Quantitative knowledge“ (Gq) byly ve starších verzích CHC teorie a třívrstvé

ho Carrollova modelu řazeny, na rozdíl od dřívější Cattelovy-Hornovy teorie,

spíše pod faktor fluidní inteligence (Gf), viz např.  Flanagan a  Dixon (2014)

nebo Carroll (1993). Úvod

Dnešní poznání je samozřejmě o značný kus dál, je však zjevné, že matematické schopnosti jsou velmi významné pro život člověka. Předchozí výzkum ukázal, že souvisejí například s velikostí příjmu, zaměstnatelností, kariérním postupem či životní spokojeností ( Rivera-Batiz, 1992; Paglin a  Rufolo, 1990; Rose a  Betts, 2004; Parsons a  Bynner, 2005). Na druhou stranu toho víme velmi málo o kognitivních procesech, které za matematickými schopnostmi stojí – tedy alespoň podle některých autorů (viz např. geary, 1993; Floyd, Evans a  Mcgrew, 2003), osobně bych se s touto myšlenkou neztotožnil, jak ostatně ukážu v následujících kapitolách. Samotné matematické schopnosti jsou však definovány velmi vágně, ad  hoc pro každý jednotlivý případ: např. jako prostá účast v  příslušných univerzitních kurzech, školní prospěch v matematických předmětech, skóry v různě operacionalizovaných testech. Ne ve všech výzkumech byl také kontrolován parciální vliv ostatních intelektových složek, což navíc komplikuje naše závěry – pokud bychom například uváděli do vztahu finanční příjem a matematické schopnosti respondentů, pozorovali bychom pozitivní korelaci. to proto, že inteligence pozitivně souvisí jak s příjmem (např. Ceci a  Williams, 1997), tak s  matematickými schopnostmi, a  proto i matematické schopnosti budou s příjmem souviset. Prostá korelace však neposkytne odpověď na otázku, zda souvisí s  příjmem i  ta část matematických schopností, která „není vysvětlena“ celkovým intelektem; jinými slovy, zda matematické schopnosti a příjem spolu souvisejí „nad rámec“ vztahu s inteligencí.

v  následujících kapitolách se proto důkladně zaměříme na deskripci schopností a  dovedností, které mají vztah k  matematickému výkonu, a  následně stručně popíšeme jejich krajní póly: specifické poruchy učení v  matematice a  naopak mimořádné matematické nadání. Předtím ale bude nezbytné vymezit hlavní termíny, zda mluvíme o matematických „schopnostech“, nebo „dovednostech“.

MateMatické schopnosti nebo dovednosti?

ve v ýzkumu bývají často diferencovány matematické schopnosti a dovednosti. Jako schopnosti (v anglické literatuře zpravidla „mathematical ability“) jsou zpravidla označovány kognitivní a exekutivní složky zodpovědné za provádění matematických operací od jednoduchých

MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

16 výpočtů až po komplexní matematické úsudky. tyto dovednosti bychom nemuseli označit vždy za „ryze matematické“  – patří sem do jisté míry totiž i  například ty součásti pracovní paměti, které jsou zodpovědné za nakládání s  numerickými či vizuálně-prostorovými objekty a  mají přímý vliv na podávaný matematický výkon (Hitch a Mcauley, 1991; Wilson a Swanson, 2015).

Naopak dovednosti (v  angličtině „skills“ nebo „mathematical achievement“) bývají zpravidla definovány jako konkrétní úroveň vývoje matematických znalostí více závislá na učení. Jako takové jsou dovednosti těsněji spjaté jednak se školním kurikulem a celkově s naučenými znalostmi, ale zároveň i s nevýkonovými charakteristikami, jako například motivací, self-efficacy apod.  – zvýšení úrovně těchto charakteristik vede i k vyššímu výkonu (např. Brown a Burton, 1978; Bandura a Schunk, 1981). ačkoliv nízký školní výkon v matematických předmětech vede k  celkově negativním postojům vůči matematice, samotné matematické dovednosti nemusejí být (ve srovnání například se čtením) zpětně těmito postoji tolik ovlivněny (onatsu-arvilommi a Nurmi, 2000), což by svědčilo ve prospěch spíše dispozičního zakotvení matematických dovedností oproti např. schopnostem jazykovým. Jiní autoři nicméně udávají zpětnovazebný posilující vztah matematického výkonu a motivace (aunola, leskinen a Nurmi, 2006), kde vyšší motivace vede k vyššímu výkonu, a ten zase zvyšuje motivaci. Rozdíl mezi těmito výzkumy mohl být způsoben právě v  rozdílném pojetí matematických schopností spíše jako výkonu či spíše jako schopnosti.

Rozdíl mezi matematickými schopnostmi a dovednostmi však samozřejmě není jednoznačný, složitý matematický úsudek není možný bez odpovídajících teoretických znalostí. Na tento problém jsme ostatně narazili s  Michalem Jabůrkem (nepubl.) při tvorbě položek testu zaměřeného na matematický úsudek (nejen) u  dospělých osob, kdy zejména ve vyšších výkonových pásmech bylo velmi obtížné vytvořit položky s malým podílem znalostního faktoru. Zároveň však platí, že nižší úroveň matematických schopností vede zpětně též k  horšímu pamatování aritmetických faktů (Shalev & gross-tsur, 2001; landerl, Bevan a Butterworth, 2004; geary, 1993) – osvojení si hlubokých matematických znalostí není možné bez odpovídající míry jejich chápání. Podle mého názoru je matematický výkon více „hierarchický“ a více založený na prerekvizitních znalostech, než dovednosti v jiných školních předmětech. Zanedbání učení na určitém stupni vývoje neÚvod znamená jen nedostatek v tom kterém konkrétním učivu, ale i horší osvojování následující látky, nižší rozvoj matematických dovedností... a tak dále, případné potíže se kumulují.

Dále se ukazuje, že i při kontrole řady intervenujících demografic

kých proměnných jsou rané matematické dovednosti v dětství (např. v deseti letech), a to zejména dělení a zlomky, nejsilnějšími prediktory zvládnutí středoškolské algebry a matematiky celkově (Siegler a kol., 2012). Efekt byl zhruba stejně silný, jako v  případě testů inteligence – rané matematické dovednosti však naopak prakticky neměly vliv na budoucí výkon jazykových schopností, na rozdíl od intelektových prediktorů. Zajímavé také je, že i  na střední škole znalost zlomků souvisí s celkovým matematickým výkonem těsněji než s algebraickými znalostmi, ke kterým má obsahově blíže – základní matematické znalosti se tak přímo promítají do aktuálního výkonu, neovlivňují jen způsob učení (Siegler a  kol.,  2012). Je samozřejmě otázkou, nakolik je tento vztah přímý a nakolik je moderován či mediován motivací či self-efficacy.

Celou situaci problematizuje i  fakt, že intelekt (reprezentovaný

například testy inteligence) bývá implicitně považován za „schopnost“, kdežto matematický výkon za „dovednost“ (např. Fuchs, Fuchs a Compton, 2006). Příkladem může být studie Schiefele a Csikszentmihalyi (1995), kde jsou schopnosti vymezené skórem v „testu schopností“ (v  tomto případě Preliminary Scholastic aptitude test, PSat-M) a dovednosti či výkon školním hodnocením, typicky gPa (grade Point average, používaným v  anglosaských zemích). tento předpoklad ovšem na základě empirických zjištění může být chybný, jak si ukážeme níže ještě podrobněji. Součástí CHC teorie inteligence jsou totiž jako jeden z  faktorů druhého řádu Kvantitativní znalosti (Gq), které Mcgrew a Evans (2004, s. 11) definují jako „... hluboké [...] deklarativní i procedurální kvantitativní vědomosti. Gq je z velké části nabyto používáním jiných schopností převážně během formálního vzdělávání. [...] Gq reprezentuje spíše kapacitu dosažených matematických znalostí než usuzování v této oblasti.“

4

Přitom však dodávají, že samotné matematické

4

„ A person’s wealth (breadth and depth) of acquired store of declarative and proce

dural quantitative knowledge. Gq is largely acquired through the ,investment‘ of

other abilities primarily during formal educational experiences. It is important to

recognize that RQ, which is the ability to reason inductively and deductively when

MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

18 usuzování (RQ) jako schopnost deduktivního a  induktivního uvažování při řešení kvantitativních problémů (přesněji „matematických vztahů a  vlastností“, s.  6), spadá spíše do faktoru fluidní inteligence (Gf ). Navíc je technicky možné z úrovně Gq usuzovat jakožto z faktoru druhého řádu i  na úroveň celkové inteligence (G). Je tedy patrné, že apriorní dělení schopností a  dovedností podle „znalostních“ a  „inteligenčních“ testů je snadno zpochybnitelné. Rozdělení matematických schopností jako spíše rysové a  dovedností jako spíše osvojené složky proto z psychometrického hlediska není vůbec jednoznačné.

Na vztah matematických schopností a  dovedností lze dále nahlí

žet i  z  vývojové perspektivy, kterou se nicméně budeme podrobněji zabývat později. Příkladem mohou být piagetovské přístupy ke studiu osvojování matematických dovedností (např. Piaget a Szeminska, 1952; Beth a Piaget, 1974; Piaget a Inhelderová, 2014). v posledních letech se empirickým studiem vývoje matematických dovedností a možnostmi jejich rozvoje nad vrozenou úroveň zabýval např. geary (1994; 1995; 2007). Pochopení procesů, které vedou k osvojení matematických dovedností na základě vrozených schopností, nám pochopitelně umožňuje obě oblasti podrobněji odlišit.

Na základě výše uvedené literatury však spatřuji jeden společ

ný rys, který poměrně přesně odděluje matematické schopnosti od dovedností a  který budu používat pro dělení i  v  následujícím textu. Matematickými schopnostmi jsou častěji označované ty kognitivní schopnosti, které vedou k vyřešení neznámých

5

matematických pro

blémů s využitím znalostí, jež jsou dostupné naprosté většině populačního ročníku, případně pak s využitím pravidel, které lze v rozumném čase logicky odvodit bez nutnosti jejich předchozí znalosti. Naopak matematické dovednosti se projevují jako konkrétní výkon v úkolech přiměřených kurikulu, přičemž kombinují znalosti dostupné jen některým dětem s postupy vyžadujícími zapojení matematických schopností. Je však samozřejmé, že pokročilé matematické znalosti umož

solving quantitative problems, is not included under Gq, but rather, is included

in the Gf domain. Gq represents an individual’s store of acquired mathematical

knowledge, not reasoning with this knowledge.“ (Mcgrew a Evans, 2004, s. 11) 5

C ož je důležité – zde máme na mysli skutečně problémy, které testovaná oso

ba nezná, a jejichž řešení musí „vymyslet“. Srovnej s rutinními a nerutinními

problémy podle Mayera a  Hegartyové (1996) níže v  kapitole o  kognitivně

-informačním přístupu. Úvod ňují rozsáhlejší rozvoj a zejména uplatnění matematických schopností; naopak matematické schopnosti umožňují osvojení si a  naučení pokročilejších matematických znalostí, a tedy i projevení dovedností. Z tohoto pohledu je tedy předložené členění spíše instrumentalistické a nezaměřuje se na etiologii těchto schopností či dovedností.

I  nadále je navíc nutné držet v  paměti, že oba pojmy jsou stále značně nejasné a  jejich význam se silně prolíná. Cílem této práce ovšem není výzkum dosahování úrovně znalostí vyžadovaných ve škole – veškeré studium kurikula bylo pouhým prostředkem k identifikaci běžných úkolů s obtížností přiměřenou věku. Primárně se proto zaměřuji právě na matematické schopnosti, jakožto komplexní, v čase relativně stabilní psychický jev (libertus, Feigenson a Halberda, 2011; Jordan a kol., 2006; Jordan a kol., 2009; Siegler a kol., 2012; Mazzocco a thompson, 2005).

shrnutí přístupů

ke studiu MateMatických schopností

Možností výzkumu matematických schopností a  dovedností je celá řada. Mohou se lišit například objektem svého zájmu, tedy zda se zaměřují na výzkum neurokognitivního pozadí zpracování čísel, osvojování si matematických konceptů či vztahu k jiným kognitivním schopnostem. Každý z těchto výzkumných směrů si pochopitelně nese svou vlastní metodologii a své vlastní typické výzkumné postupy.

Sternberg a Ben-Zeev (1996) v úvodu (a závěru) své vynikající knihy The Nature of Mathematical Thinking popisují pět možných úhlů pohledu na matematické schopnosti: • Psychometrický přístup, reprezentovaný faktorovými teoriemi (ne

jen) inteligence. ten se zaměřuje na běžnou populaci a na vztah ma

tematických schopností k jiným kognitivním a intelektovým rysům. • Kognitivně-informační přístup („výpočetní“), zaměřený na zpra

covávání matematických informací. typickými tématy jsou postup

docházení ke správným či chybným řešením a způsob operaciona

lizace matematických konceptů v lidské mysli. • Kognitivně-kulturní („antropologický“), který chápe matematic

ké uvažování jako součást kulturně závislého porozumění světu,

navíc s určitými biologickými predispozicemi. témata jsou velmi

MateMatické schopnosti: teoretický přehled a jejich Měření

20

podobná jako v  předchozím, kognitivně-informačním přístupu,

výzkumníci se však častěji zaměřují na vliv jazykových či kultur

ních rozdílů v matematickém porozumění. Z těchto důvodů sem

Sternberg a Ben-Zeev (1996) zahrnují i tzv. piagetovské přístupy. • Kognitivně-vzdělávací přístup („pedagogický“), který jde „odza

du“ a  sleduje děti učící se matematice. Sleduje, které didaktické

postupy a metody jsou výhodné pro výuku matematických doved

ností, jaká jsou možná ohrožení jejich dobrého osvojení. • A  konečně matematický přístup, který se zaměřuje na strukturu

matematických faktů a principů a propojuje tak psychologii a mate

matiku jako vědu. v tomto ohledu jsou klíčové různé simulační stu

die; psychologické poznatky jsou dosazovány do struktury abstrakt

ních matematických pojmů tak, jak je chápe matematická teorie.

První tři přístupy jsou z pohledu psychologa či psychologické diagnostiky nejzajímavější. Zaměřují se spíše na matematické schopnosti (nikoliv dovednosti), definují, co matematické schopnosti vlastně jsou, a zasazují je do kontextu ostatních kognitivních schopností. Pedagogický přístup je potom užitečný do té míry, že nám umožňuje zkoumat, jakým způsobem klást otázky při psychologickém testování, a jak konstruovat položky při zjišťování míry matematických schopností. Poslední, matematický přístup nepřináší z hlediska psychologie žádné zásadní informace, které by mohly rozšířit diskuzi o  měření matematických schopností  – snad jen v  případě, že by se tato práce věnovala ověřování didaktických znalostí a schopností studentů matematických oborů.

v  následujících kapitolách proto budu sledovat tuto strukturu a postupně se zaměřím na tato čtyři témata – pohled matematiků na to, jaké klíčové charakteristiky musí vykazovat lidé věnující se jejich oboru, však zcela vynechám.

Závěrem by nicméně bylo vhodné zmínit ještě „filozofický“ přístup k  matematickým schopnostem a  k  reprezentaci matematických konceptů, kterým se zabývali např. Wittgenstein, Peano, Russell, Frege a další (cit. dle Miller, 1992). ten se však týká spíše toho, co to je číslo jako takové v  kontextu lidského myšlení, a  svou teoretickou diskuzí se podobá přístupu matematickému (ostatně Russell, Peano i  Frege byli mimo jiné i matematiky). Pro praktické účely této práce jej bude možné rovněž pominout.



       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz – online prodej | ABZ Knihy, a.s.