načítání...
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Kvadrivium -- Čtyři svobodná umění: aritmetika, geometrie, hudba a astronomie - John Martineau; Miranda Lundyová; Daud Sutton; Jason Martineau; Anthony Ashton

Kvadrivium -- Čtyři svobodná umění: aritmetika, geometrie, hudba a astronomie

Elektronická kniha: Kvadrivium -- Čtyři svobodná umění: aritmetika, geometrie, hudba a astronomie
Autor: ; ; ; ;

Základní kurz na většině středověkých univerzit se skládal ze studia sedmi svobodných umění. Nižší úroveň (gramatika, rétorika a dialektika) se nazývala trivium a úroveň vyšší ... (celý popis)
Titul je skladem - ke stažení ihned
Médium: e-kniha
Vaše cena s DPH:  299
+
-
10
bo za nákup

ukázka z knihy ukázka

Titul je dostupný ve formě:
elektronická forma tištěná forma

hodnoceni - 84.3%hodnoceni - 84.3%hodnoceni - 84.3%hodnoceni - 84.3%hodnoceni - 84.3% 98%   celkové hodnocení
5 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: » DOKOŘÁN
Dostupné formáty
ke stažení:
PDF
Upozornění: většina e-knih je zabezpečena proti tisku
Médium: e-book
Počet stran: 409
Rozměr: 20 cm
Úprava: tran : ilustrace, noty, faksimile
Vydání: První vydání v českém jazyce
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-736-3732-3
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis

Základní kurz na většině středověkých univerzit se skládal ze studia sedmi svobodných umění. Nižší úroveň (gramatika, rétorika a dialektika) se nazývala trivium a úroveň vyšší - kvadrivium - zahrnovala studium aritmetiky, geometrie, hudby a astronomie. Kvadrivium lze chápat jako studium čísel ve vztahu k prostoročasu: aritmetika se zabývá čistými čísly, geometrie čísly v prostoru, hudba čísly v čase a astronomie (kosmologie) čísly v časoprostoru. Kniha Kvadrivium vznikla jako syntéza šesti publikací řady Pergamen, která pro českého čtenáře již téměř deset let systematicky mapuje lidské poznání na pomezí vědy a tajemna. Stejně jako u jednotlivých titulů řady jde o atraktivně graficky zpracované ochutnávky velkých témat, které se nebrání mystice ani čisté spekulaci. Jednotlivé knihy byly pro Kvadrivium aktualizovány, doplněny o řadu nových kapitol, tabulek a přehledů a propojeny odkazovým aparátem. Kniha poskytne mnoho potěšení každému, kdo se nebojí přemýšlet o velkých tématech, a uvítá názorného průvodce po jejich říši s doprovodem stovek půvabných ilustrací.

(čtyři svobodná umění: aritmetika, geometrie, hudba a astronomie)

Předmětná hesla
Zařazeno v kategoriích
John Martineau; Miranda Lundyová; Daud Sutton; Jason Martineau; Anthony Ashton - další tituly autora:
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

KVADRIVIUM

Collection copyright © 2010 by Wooden Books Limited

Text copyright Sacred Number © 2005 by Miranda Lundy

Text copyright Sacred Geometry © 2001 by Miranda Lundy

Text copyright Platonic & Archimedean Solids © 2002 by Daud Sutton

Text copyright Harmonograph © 2003 by Anthony Ashton

Text copyright The Elements of Music © 2008 by Jason Martineau

Text copyright A Little Book of Coincidence © 2001 by John Martineau

Text copyright pages from Ruler & Compass © 2009 by Daud Sutton

Published by arrangement with Alexian Limited

Design and typeset by Wooden Books Ltd., Glastonbury, UK.

Soubor © Kvadrivium, Dokořán 2015

Translation © Posvátná čísla, Stanislav Pavlíček, 2011, 2015

Translation © Posvátná geometrie, Jiří Pilucha, 2008, 2015

Translation © Platónská a archimedovská tělesa, Helena Nyklová, 2011, 2015

Translation © Harmonograf, Petr Holčák, 2015

Translation © Tajemství hudby, Robert Tschorn, 2008, 2015

Translation © Malá kniha velkých náhod, Petr Holčák, 2008, 2015

Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí

být rozmnožována a rozšiřována jakýmkoli způsobem

bez předchozího písemného svolení nakladatele.

Druhé vydání v českém jazyce (první elektronické).

Odpovědný redaktor Zdeněk Kárník.

Sazba Wooden Books Ltd., Tomáš Schwarzbacher Zeman.

Konverze do elektronické verze Tomáš Schwarzbacher Zeman.

Vydalo v roce 2015 nakladatelství Dokořán, s. r. o.,

Holečkova 9, Praha 5, dokoran@dokoran.cz, www.dokoran.cz.

796. publikace, 207. elektronická

ISBN 978-80-7363-737-8


KVADRIVIUM

Čtyři svobodná umění:

aritmetika, geometrie, hudba a astronomie



Obsah

Poznámka editora 1

John Martineau

Předmluva 3

Keith Critchlow

Kniha i Posvátná čísla 7

Miranda Lundyová Kniha ii Posvátná geometrie 59

Miranda Lundyová Kniha iii Platónská a archimedovská tělesa 127

Daud Sutton Kniha iv Harmonograf 181

Anthony Ashton Kniha v Tajemství hudby 237

Jason Martineau Kniha vi Malá kniha velkých náhod 291

John Martineau

Dodatky 355

Rejstřík 405

Literatura 410



1

Poznámka editora

Svazek, který držíte v rukou, je jedinečnou pokladnicí starodávných

poznatků, neobyčejně užitečných, donedávna utajovaných. Tytoinformace jsou také nesmrtelné – nikdy nevyjdou z módy. A zatřetí jsou

univerzální – je to magický klíč ke kulturám provinčním i světovým,

starověkým i moderním, založeným na náboženství i na vědě.

Naše Kvadrivium vzniklo spojením šestice knížek z edice Pergamen doplněných o 32 nových stran. Vyšší svobodná umění jsou čtyři, knih je zde šest proto, že po dvou knížkách připadá na geometrii a hudbu. Snažili jsme se omezit na minimum opakování vznikající překrýváním témat původních titulů, občas se ale přece jen něco objeví vícekrát.

Kniha takovéhoto rozsahu vyžadovala spolupráci řady lidí. Tímto zde děkuji Sally Pucillové, Richardu Henrymu, Adamu Tetlowovi, Johnu Michellovi, Johnu Nealovi, dr. Paulu Marchantovi, Robinu Heathovi, Davidu Wadeovi, dr. Khaledu Azzamovi, Malcolmu Stewartovi, Polly Napperové, Geoffu Strayovi, dr. Moffu Bettsovi, prof. Scottu Olsenovi, Richardu Heathovi, Mattu Tweedovi, Marku Millsovi, prof. Robertu Templeovi, Stephenu Parsonsovi, Nathanu Williamsovi, Charliemu Danceymu a Tracey Robinsonové za jejich příspěvky a pomoc.Děkuji také dalším editorům edice Wooden Books, Georgi Gibsonovi z newyorské firmy Walker & Bloomsbury a Daudu Suttonovi z Káhiry. Nakonec musím poděkovat prof. Keithu Critchlowovi za předmluvu a samotným autorům - Mirandě Lundyové, Daudu Suttonovi, svému dědečkovi Anthonymu Ashtonovi a dr. Jasonu Martineauovi.

John Martineau


Pythagorovská TETRAKTYS zvětšená o LAMBDU z Platónova dialogu

Timaios. Platón tři čísla tajil a uváděl jich vždy jen sedm.

Šlo o čísla 1, 2, 3, 4, 8, 9 a 27, která se vztahují k planetám.

Řekové používali k matematickým výpočtům oblázky.


3

Předmluva

Kvadrivium čili „čtyři cesty“ jako první vypracoval a učil Pythagoras

ze Samu pod názvem Tetraktys kolem roku 500 př. n. l. vkomunitě v jihoitalském městě Kroton, kde si byli všichni rovni, materiálně

i morálně, muži i ženy. Byl to první systém výuky v Evropě, který

rozdělil vzdělání do sedmi základních předmětů, později nazývaných

sedm svobodných umění.

Slovo „edukace“ čili vzdělání pochází z latinského educere, což znamená „vyvést“. Tím odkazuje na ústřední doktrínu, kterou prosazoval Sokrates v Platónových dialozích – že poznání je základní a nedílnou součástístruktury naší duše. Trivium jazyka je založeno na základních a objektivních hodnotách Pravdy, Krásy a Dobra. Jeho třemi předměty jsou gramatika, která zajišťuje dobrou stavbu jazyka, logika jako nástroj nalézání pravdy a rétorika, vyučující, jak dodat jazyku při vyjadřování pravdy i krásu. Kvadrivium vychází z nejuctívanějšího ze všech předmětů lidského zájmu – čísla. Prvním z jeho předmětů je aritmetika, druhým je geometrie čili řád čísla v prostoru, třetím je harmonie, podle Platóna číslo v čase, a čtvrtým astronomie, tedy číslo v prostoru a čase. Tento soubor předmětů poskytuje bezpečné a spolehlivé stupně k dosažení Pravdy, Dobra a Krásy zároveň, což pak vede k dosažení esenciální harmonické Celistvosti.

Naše duše, jejíž nesmrtelnost Sokrates prokázal v dialogu Faidon, je před svým narozením do těla ve stavu úplného poznání, a smyslem vzdělávání je tak rozpomínání, zpětné začleňování rozpojených znalostí do původní Celistvosti. Cílem studia těchto předmětů bylo vystoupat zpět k jednotě pomocí kvalifikovaných zjednodušení, vedených studiem jednotlivých předmětů kvadrivia, čili nalézt původní pramen (což je v klasické tradici jediným účelem poznávání).

Ve svých rozhovorech o ideálech vzdělání Sokrates prezentuje svůj model kontinuity vědění, jakousi vertikální „čáru“ narýsovanou od „mínění“ jako počátku uvědomělého poznání až po jeho vrchol vpodobě noesis, komplexního porozumění. Za ním je již jen nepopsatelné a nevýslovné. Důležité je, že tento proces má čtyři stadia (dalšíkvadrivium, Tetraktys), daná Sokratovým dělením „ontologické čáry“. Prvním a zásadním je dělení na svět pochopitelný rozumem a svět smyslový, tedy oddělení mysli a hmoty. Obě části se dělí dál a z mínění se vydělujínázory. Ve světě smyslů jsou i správné názory stále ještě založeny na pouhé smyslové zkušenosti, kdežto nad první dělicí linií, ve světě pochopitelném rozumem, se nacházíme v „pravdonosné“ oblasti kvadrivia, říši pravého a objektivního poznání. Konečnou a nejvyšší fází poznávánípochopitelného světa je noesis čili čisté poznání, kde poznávající a poznávané splývají v jedno, což je také cílem i pramenem všeho vědění. Takže časem a rozumem ověřené kvadrivium nabízí opravdovému hledači poznání příležitost znovu nabýt původní znalosti celistvé povahy vesmíru – včetně jeho samého jako neoddělitelné součásti.

Podíváme-li se na tyto „čtyři cesty“ podrobněji, nalézáme varitmetice tři úrovně: konkrétní čísla, neurčitá čísla matematiků a ideální či archetypální číslo. Geometrie se odvíjí ve čtyřech fázích: na počátku je bezrozměrný bod, z něhož se pohybem stává přímka, z ní se dalším pohybem stane rovinný útvar a ten nakonec získá prostorový rozměr jako třeba krychle. Harmonie (podstata duše) obsahuje čtyři hudební „stupnice“ – pentatonickou, diatonickou, chromatickou a indickou šruti. A nakonec je zde astronomie, jež studuje kosmos. Slovo „kosmos“ má původ u Pythagora a znamená „řád“ i „ozdobu“. Pythagorejci pohlíželi na viditelnou oblohu jako na „ozdobu“ čistých principů, kde viditelné planety mají vztah k principům proporční harmonie. Studiumdokonalosti nebes bylo cestou, jak zdokonalit vlastní duši.

Mezi ty, kdo studovali kvadrivium, patřili například Cassiodorus, Filolaos, Timaios, Archytas, Platón, Aristoteles, Eudemos, Eukleides, Cicero, Filon Alexandrijský, Nikomachos, sv. Klement Alexandrijský,

5

Origenes, Plotinos, Iamblichos, Makrobius, Martianus Capella (ten

sepsal nejzábavnější známou verzi kvadrivia), Dionysios Areopagita,

Beda Ctihodný, Alcuin z Yorku, Al-Chvárizmí, Al-Kindí, Eriugena,

Gerbert d’Aurillac, Fulbert z Chartres, Ibn Sina (Avicenna), Hugo ze

Svatého Viktora, Bernard Silvestris, Bernard z Clairvaux, Hildegarda

z Bingenu, Alan z Lille, Jáchym z Fiore, Ibn al-Arabi, RobertGrosse

teste (velký anglický učenec), Roger Bacon, Tomáš Akvinský, Dante

a Johannes Kepler.

Skončím dvěma citáty. První z nich pochází od pythagorejců: „A měl

bys vědět, že zákony ustanovily vnitřní povahu všech věcí stejnou.“

Druhý je od Iamblicha: „Svět (kosmos) nevznikl kvůli tobě – to ty ses

zrodil kvůli němu.“

Keith Critchlow KNIHA I

Tato rytina Gregora Reische ze 16. století zachycuje Pythagora, jak užívá

středověkého deskového počítadla k vytvoření čísel 1, 241 a 82 (vpravo).

Vlevo počítá Boëthius s využitím arabských číslic, jaké známe dnes.

Uprostřed stojí Aritmetika, která má na svých šatech dvě geometrické

posloupnosti: 1, 2, 4, 8 a 1, 3, 9, 27.

POsVá tNá

číslA

Tajné k va liTy k va nTiT

Miranda Lundyová

s dodatky od Adama Tetlowa a Richarda Henryho

Úvod

Co je číslo? Jak rozlišujeme jednotlivé od mnohého, anebo třeba dvě od

tří? Vrána, již vyruší čtyři muži, kteří se jdou schovat pod její strom, je

z bezpečné vzdálenosti dokáže spočítat jednoho po druhém, unavené

a hladové, načež se v klidu vrátí do svého hnízda. Být jich však pět, to

už by bylo nad její početní možnosti.

Každý z nás ví něco o některých číslech: šestka se nám například vybaví při pohledu na sněhové vločky, stupnice má sedm celých tónů, počítáme v desítkách, tři nohy dělají stoličku, pět okvětních lístků květ. Některá z těchto elementárních zjištění patří dokonce k prvnímvšeobecným pravdám, s nimiž se v životě setkáváme. Jsou tak prostá, že na ně zapomínáme. Děti na vzdálených planetách získávají zřejmě tytéž zkušenosti jako my.

Věda o číslech a jejich studium patří patrně k nejstarším naukám na Zemi. Původ této nauky je ztracen v temnotách času. Už nejstarší kultury užívaly čísel – nacházíme je ve značkách na keramice, vetkalcovských vzorech, v zářezech do kostí, v uzlech, kamennýchmonumentech či v počtech bohů. Pozdější systémy zahrnuly záhady tohoto typu pod magické středověké kvadrivium, tvořené aritmetikou,geometrií, hudbou a astronomií – tato čtyři svobodná umění byla nezbytná k tomu, aby člověk opravdu porozuměl vlastnostem čísel.

Celá věda má svůj původ v magii. Ve starověkých školách neexistoval mág, který by neznal sílu čísel. Nauka o posvátných číslech dnes zmizela pod přílivem čistě kvantitativního pojetí čísel, jímž se však na těchto stranách zabývat nebudeme. Kniha I našeho Kvadrivia je průvodcem začátečníka po aritmologii, malým pokusem odhalit některá z mnohých tajemství a základních vlastností čísel, jež tvoří jednotu.

Monáda

jednota

Jednota. Jedno. Bůh. Velký duch. Zrcadlo divů. Nehybná věčnost.

Trvalost. Existují pro ni nesčetná jména.

Z určitého úhlu pohledu vlastně ani nemůžeme mluvit o jednom. Když o něm totiž mluvíme, činíme z něj předmět hovoru, z čehož plyne, že se od něj oddělujeme, a tím chybně vystihujeme podstatu od počátku trvající jednoty. Máme tedy před sebou dosti záhadný hlavolam.

Jedno je mezí všeho, je prvním před počátkem a posledním po konci, je alfou i omegou, formou, která tvaruje všechny věci, a jedinou věcí, která je tvarována všemi formami. Je počátkem, z nějž vzniká vesmír, je samotným vesmírem a středem, do nějž se vesmír vrací. Je to bod, sémě i cíl.

Jednička se odráží ve všech věcech a se vším zachází stejně. Na rozdíl od ostatních čísel je neuvěřitelně stabilní. Jednička zůstávájedničkou, i když je násobena či dělena sama sebou, a jeden, jedna či jedno z čehokoli je pořád jen jedna věc. Jedna je sama, úplně sama, a neexistuje nic, co by ji dokázalo úplně charakterizovat.

Všechny fyzické předměty jsou ponořeny v bezbřehém oceánu jednoty. Vlastnost zvaná jednost prostupuje vším. Bez jednosti nic není a není také nic uvnitř jednosti, neboť dokonce i komunikace nebo myšlenka vyžadují části, mezi nimiž je určitý vztah. Jedno je stejně jako sluneční svit nebo mírný deštík ve své lásce bezvýhradné. Přesto však jeho majestátnost a záhadnost zůstává neodhalena a leží za hranicemi chápání, neboť pouze jedno dokáže samo sobě porozumět. Jedna je současně kruhem, středem a nejčistším tónem.

Dualita

protiklady

Každá mince má dvě strany a právě na té druhé přebývá dyáda. Dvojka

je stínem, který jako by patřil do jiného světa, je opakem, je to polarizace

a objektivizace. Sídlí tam, je jiným, tedy ne tímto, je nezbytná jakožto

základ pro srovnávání, což je metoda, pomocí níž naše mysl poznává

svět. Pro tento božský pár existují nesčetná další jména.

Pro pythagorejce byla dvojka prvním erotickým číslem, číslem sudým a ženským. Dvojakost pro ně měla značný význam a tuto myšlenku dále rozvíjeli – uvažovali v rovině četných dvojic čistých protikladů, jako například omezený-neomezený, lichý-sudý, jeden-mnohý, pravý-levý, mužský-ženský,nehybnýohybující se a rovný-zakřivený. My bychom mohli ještě přidat kladný a záporný náboj v elektromagnetismu čiprotiklad mezi naším vdechováním a vydechováním.

Dvojka se vyskytuje i v hudbě jako kmitočtový poměr dva ku jedné. Obdobný tón je v tom případě buď o oktávu vyšší či nižší než základní tón, což znamená, že má v porovnání se základním tónem buďdvojnásobnou, nebo poloviční výšku (frekvenci).

V jazyce u cizích slov odvozených z latiny používáme předponu bi-, jestliže obě části něčeho fungují jako jedna (příkladem může být bicykl). Chceme-li vyjádřit schopnost dvojky rozdělovat, začínají tato slova na di- (příkladem může být divergence). Rozlišení mezi já a ne-já je jedním z prvních a posledních rozdílů, které obecně činíme.

Přestanou-li moderní filozofové přemýšlet o dvojakosti, dostanou se jen o málo dál než jejich starověcí předchůdci. Všichni totižvnímáme svýma dvěma očima a dvěma ušima směry vlevo a vpravo, vpřed a vzad a nahoru a dolů. Muži i ženy žijí pod Sluncem a Měsícem a někdy je napadá, jak je vůbec možné, že se tato tělesa nalézají v tak úžasné rovnováze – na obloze mají stejnou velikost a jedno z nich svítí ve dne, zatímco druhé v noci. 15

tři

jsou dav

Trojka představuje v některých kulturách princip mužský a v jiných

ženský. Podobně jako strom plní úlohu mostu mezi nebem a zemí.

Triáda spojuje protiklady – je jejich směsicí, řešením či prostředníkem

mezi nimi. Je syntézou nebo návratem k jednotě po rozdělení na dvě

části a byla dříve označována jako první liché číslo.

Třetí noha dodává stoličce rovnováhu, třetí pramen vlasů vytváří cop. Příběhy, pohádky a duchovní tradice překypují mocnými trojkami, jež v sobě mísí minulé, současné a budoucí stejně jako poznávajícího, poznávání a poznávané. V podobě narození, života a smrti se triáda objevuje všude v přírodě, a to jako princip i forma.

Trojice mívá často podobu trojúhelníku, nejprostšího a strukturálně nejstabilnějšího mnohoúhelníku, jenž je prvním útvarem definujícím prostor.

V hudbě definují kmitočtové poměry tři ku dvěma a tři ku jedné kvintu a její oktávu, jež jsou po samotné oktávě nejkrásnějšími souzvuky a zároveň jsou i klíčem ke starověkým laděním.

Útvar zvaný vesica piscis (v doslovném překladu „rybí měchýř“), který je tvořen dvěma protínajícími se kružnicemi (naproti vlevonahoře), okamžitě vyvolává představu trojúhelníků. Rovnostrannýtrojúhelník vepsaný do kruhu definuje zmíněnou oktávu kvinty – obsah prstence (vlevo dole) je třikrát větší než obsah malého kruhu. Dole uprostřed vidíme Archimedův oblíbený objev – objemy kužele, koule a válce jsou v poměru jedna ku dvěma ku třem. 17

čtveři ce

dvě dvojice

Po trojce vstupujeme do prostoru. Čtyřka je první zrozenou věcí, prvním

produktem plození, dvěma dvojicemi. Je to první druhá mocnina,nepočítáme-li číslo jedna, a představuje pro nás symbol Země a světa přírody.

Čtyřka je základem trojrozměrného prostoru. Nejjednoduššítrojrozměrné těleso známé jako čtyřstěn (tetraedr) je tvořeno čtyřmitrojúhelníky, čtyřmi vrcholy a čtyřmi plochami. A je natolik základní pro strukturu prostoru jako trojúhelník pro rovinu.

Čtyřka je často spojována s materiálními způsoby zhmotnění, čtyřmi základními živly – ohněm, vzduchem, zemí a vodou. Čtverec kolem kruhu vymezuje nebeský prstenec, jehož obsah se rovná kruhuvepsanému (protější strana vpravo nahoře). Slunovraty a rovnodennosti dělí rok na čtvrtiny, koně chodí po čtyřech a dalších pozemských čtveřic je bezpočet.

Čtyřka vyjádřená statickým čtvercem rezonuje v dynamickém kříži. Souhra kříže a čtverce se uplatňovala při starobylém rituálu určování orientace nové budovy. Stíny, které vrhal centrální sloup při východu a západu slunce o rovnodennosti, udávaly symbolickouvýchodo-záadní osu budovy. Princip čtvercového uspořádání je v architektuře univerzální, objevuje se ve starověkých čínských textech i ve spisech Vitruviových. Dodnes přežívá v pojmu čtvrť, jenž označuje část města.

Veškerá hmota, s níž se v běžném životě setkáváme, je takétvořena pouze čtyřmi náležitě uspořádanými částicemi: protony, neutrony, elektrony a neutriny.

Čtyřka se objevuje rovněž v hudbě jako třetí alikvótní tón (tóny o celočíselných násobcích frekvence základního tónu, počínajedvojnásobkem) s kmitočtovým poměrem čtyři ku jedné ve vztahu k základnímu tónu, což odpovídá dvěma oktávám, anebo jako kmitočtový poměr čtyři ku třem – takzvaná kvarta, což je zase doplněk ke kvintě uvnitř oktávy. 19

Pět

samotný život

Pětka je obdařena magickým charakterem. Děti instinktivně kreslípěticípé hvězdy a my všichni cítíme její povahu, která je ve své podstatě

prchavá a nabitá energií.

Pětka v sobě slučuje mužské a ženské – tedy dvojku a trojku v některých kulturách a trojku a dvojku v jiných – a je tak univerzálním číselným výrazem reprodukce a biologického života. Je to také číslosymbolizující vodu, jejíž každá molekula je vrcholem pětiúhelníku. Samotná voda je úžasnou tekutou krystalovou mřížkou mající podobu pružných dvacetistěnů. Dvacetistěn pak patří k jednomu z pěti platónských těles (dole druhý zprava) a v každém jeho vrcholu se setkává pět trojúhelníků. Z toho důvodu jsou vlastnostmi vody tok, dynamika a život. Suché věci jsou buď mrtvé, anebo na vodu čekají.

Číslo pět nalézáme ve hvězdičkách uvnitř jablek, na květech rostlin, na rukou a na nohou. Nám nejbližší planeta, Venuše, bohyně lásky a krásy, vytvoří, při své cestě okolo Slunce, na pozemské obloze nádherný pětičetný vzor (naproti vlevo nahoře).

Naše nejrozšířenější stupnice, pentatonická, je tvořena pěti tóny(černé klávesy na klavíru), rozdělenými do skupin po dvou a po třech. Renesanční záliba v intervalech obsahujících číslo pět (jako například velká tercie, která užívá kmitočtový poměr pět ku čtyřem) vedla ke vzniku moderní stupnice. Pět je také délka úhlopříčky obdélníku o stranách 3 × 4.

Na rozdíl od trojek a čtyřek, pětky opovrhují rovinou a čekají na třetí rozměr, s nímž by se spojily a vytvořily pátý element. 21

Všechny věci šestkové

hex

Šestka, podobně jako její elegantní posel – sněhová vločka – přináší

dokonalost, strukturu a řád. Šestka, jež je výsledkem násobení dvojky

s trojkou, tedy sudého a lichého, je rovněž číslem tvoření. Ostatně

i svět byl, jak víme z Písma, stvořen za šest dní.

Čísla, jimiž lze snadno dělit jiná čísla, jsou známa jako jejich celočíselní dělitelé. A většina čísel, včetně jedničky až pětky, má dělitele, které jsou v součtu menší než číslo samé. Takovýmto číslům říkáme deficientní. Na šestce je krásné, že je součtem a součinem prvních tří čísel, která jsou zároveň i jejími děliteli. Jednička, dvojka a trojka dávají v součtu také šest, takže šestka je prvním dokonalým číslem, tedy číslem, které je rovno součtu svých dělitelů.

Pomocí poloměru lze obvod kruhu rozdělit na šest přesně stejnýchoblouků, a tímto způsobem následně do kruhu vepsat pravidelnýšestiúhelník, okolo jehož vrcholů lze následně opsat šest dokonale uspořádaných kruhů. Po trojúhelníku a čtverci je šestiúhelník posledním pravidelným mnohoúhelníkem, jehož kopie do sebe dokonale zapadají a umožňují tak vyplnit („vykachlíkovat“) rovinu.

Tři základní rozměry vytvářejí šest směrů: dopředu, dozadu, doleva, doprava, nahoru a dolů, a ty jsou vtěleny do šesti stěn krychle, šesti vrcholů osmistěnu a šesti hran čtyřstěnu. Šestka se hojně vyskytuje ve struktuře krystalů, příkladem mohou být sněhové vločky, křemen agrafit. Šestiúhelníky uhlíkových atomů představují základ organické chemie. Stačí přidat vodu.

Zajímavé je, že známý pythagorejský trojúhelník o stranách tři, čtyři a pět má obsah a polovinu obvodu šest.

Hmyz leze po šesti nožkách a včela medonosná ukládá svůj nektar do pláství instinktivně vystavěných ve tvaru šestiúhelníku. 23

Heptáda

sedm sester

Sedmička je panna, stojí o samotě a má jen málo co společného sostatními jednoduchými čísly. V hudbě sedmitónová stupnice působístejně přirozeně jako její sestra, stupnice pětitónová. Jde o bílé klapky na

klávesnici, jejichž sedm tónů vytváří základní vzorec pro sedm starých

hudebních modů. Podobně jako všechna čísla i sedmička v sobě zahrnuje

číslo předchozí; prostorově funguje jako spirituální centrum šesti, protože

šest směrů vychází vždy z nějakého bodu v prostoru a šest pohybujících

se kruhů obklopuje sedmý, nehybně spočívající v rovině.

Měsíční fáze se běžně vyjadřují jako čtyři sedmidenní období, přičemž skutečný měsíční cyklus doplňuje ještě jedna nebo dvě noci bezměsíčné.

Naše oči vnímají tři základní barvy světla – červenou, zelenou a modrou, které lze na bílém podkladě vytvořit smícháním jiných čtyř barev – žluté, azurové, purpurové a černé. Podle starých Indů probíhá vzhůru našimi těly vertikální duha, tvořená sedmi drobnýmienergetickými centry, jimž se říká „čakry“. Dnes je chápeme jako sedm žláz s vnitřním vyměšováním.

U sedmi planet starověku, seřazených podle své oběžné rychlosti na pozemské obloze (naproti nahoře uprostřed) nacházíme fascinujícísouvislosti s kovy (naproti vlevo nahoře) a dny v týdnu (naproti vpravo nahoře): Měsíc – B – stříbro – pondělí, Merkur – C – rtuť – středa, Venuše – D –

měď – pátek, Slunce – A – zlato – neděle, Mars – E – železo – úterý,

Jupiter – F – cín – čtvrtek, Saturn – G – olovo – sobota (také strana 305).

Existuje sedm vlysových symetrií, sedm skupin krystalových struktur, sedm způsobů vinutí cest v labyrintu (naproti). 25

Osm

dvojice čtverců

Osm je dva krát dva krát dva, čili je to první třetí mocnina po jedničce.

Osm je vrcholů krychle a stěn osmistěnu, oktaedru, tělesa duálního ke

krychli. Na molekulární úrovni toto číslo vyjadřují atomy, jež touží mít

osm elektronů ve své nejvzdálenější slupce. Atom síry má v této slupce

elektronů jen šest, a tak se osm atomů síry spojí dohromady, aby elektrony

sdílely, čímž vznikne krásný oktagonální sírový prstenec.

V architektuře osmiúhelník často vyjadřuje přechod mezi nebem a zemí, most mezi čtvercem a kruhem. Krychlové stavby často završuje kulovitá kupole s krásnou oktagonální klenbou.

Osmička je obzvláště uctívána v náboženství a mytologii Orientu. Starověká čínská věštecká kniha I-ťing (Kniha proměn), je založena na

kombinování osmi trigramů (kombinací plných či přerušovaných čar),

z nichž každý je důsledkem třikrát učiněné volby mezi dvěmaalternativami. Na protější straně je zachycena „Raná nebeská sekvence“, která

má představovat ideální vzorec transformací ve světě. Všimněte si, že

každý z trigramů doplňuje trigram protější.

V náboženské symbolice je osmý krok často spojován s duchovním vývojem nebo spasením. To může souviset i s tím, že v hudbě je osmým tónem sedmitónové stupnice oktáva, která má ve srovnání s prvním tónem dvojnásobnou výšku, a tak signalizuje přechod na novou úroveň.

V moderním světě přemýšlejí počítače v jednotkách zvaných „bajty“, které jsou tvořeny osmi binárními „bity.“

Všichni pavouci mají osm nohou a všechny chobotnice osm chapadel. 27

Devatero

tři trojice

Kočky mají devět životů, pohádky se často odehrávají za devatero horami

a devatero řekami.

Devítka jsou tři triády, je to první lichá druhá mocnina po jedničce, a má velmi zvláštní vlastnosti: prvních devět čísel lze uspořádat do magického čtverce, kde každý řádek, sloupec i diagonála dává stejný součet (naproti uprostřed). Tento starodávný způsob uspořádání čísel byl poprvé spatřen před čtyřmi tisíci lety na krunýři božské želvy vylézající z řeky Lo v Číně.

Tři krát tři je o jednu víc než dva krát dva krát dva a poměr mezi devíti a osmi definuje klíčovou jednotku v hudbě – celý tón, semínko, z nějž se rodí stupnice, neboť je to zároveň rozdíl mezi dvěmanejrostšími souzvuky v oktávě – mezi kvintou (poměr tři ku dvěma) a kvartou (čtyři ku třem).

Existuje devět pravidelných trojrozměrných útvarů: pět platónských těles a čtyři hvězdicovitá Keplerova-Poinsotova tělesa (také Kniha III).

Devítka se vyskytuje i v našich tělech v podobě příčného průřezu řasinkami, které se podobají chapadlům a pohybují věcmi po površích v našem těle, či jako svazečky mikrotubulů v centriolách, jež jsounezbytné pro dělení buněk (dole).

Devítka je nebeským číslem symbolizujícím řád a mnoho starodávných tradic hovoří o devíti světech či sférách. 29

Deset

prsty

Lidé mají deset prstů, a tato skutečnost vždycky pracovala a stále pracuje

ve prospěch desítky. Proto ji také kultury tak různorodé jako Inkové,

Indové, Berbeři, Chetité či Mínojci použily jako základ pro své početní

soustavy. A desítkovou soustavu užíváme i dnes. Desítka je dítětem pětky

a dvojky a nepřekvapí nás, že původ slova deset se odvozuje zindoevropského dekm, což znamená „dvě ruce“.

Deset je především výsledkem součtu prvních čtyř čísel, jedna

plus dvě plus tři plus čtyři. Tato skutečnost měla hluboký význam

pro pythagorejce, kteří tento fakt zvěčnili v útvaru zvaném tetraktys

(černé tečky naproti uprostřed), jejž nazývali vesmírem, nebem

a věčností. Desítka není jen čtvrtým trojúhelníkovým číslem, ale též

třetím čtyřstěnným, tetraedrálním číslem (naproti vpravo dole). To jídodává na důležitosti jakožto stavebnímu číslu trojúhelníkovitých tvarů

dvourozměrných i třírozměrných.

Deset pětiúhelníků, které nám evokují představu života, je možné dokonale rozmístit kolem desetiúhelníku. DNA, jež je klíčem kreprodukci života, má příznačně deset stupínků v každém závitu své dvojité šroubovice, takže v příčném řezu vypadá jako desetičlenná růžice (naproti vlevo nahoře).

Ve Stromu života, s nímž se setkáváme v židovské kabale, je deset sefír („nádob“, „sfér“) a desetinásobná symetrie se také hojně užívala v gotické architektuře (naproti vpravo nahoře).

Platón věřil, že desítka obsahuje všechna existující čísla, a pro nás to

platí takřka bezvýhradně – jakékoli číslo dokážeme vyjádřit jen pomocí

deseti prostých číselných symbolů.


31


32

Jedenáctka

míry a měsíc

Jedenáctka je tajemným číslem z podsvětí. V němčině má příznačné

jméno elf. Její důležitost tkví v tom, že je to první číslo, které nám umožní

pochopit rozměry kružnice. V praxi se užívá kružnice o průměru sedmi

jednotek, která má polovinu obvodu jedenáct (naproti vlevo nahoře).

Vztah mezi jedenáctkou a sedmičkou byl starými Egypťany považován za tak silný, že ho použili jako základu pro projekt Velké pyramidy. Kružnice narýsovaná kolem bokorysu Velké pyramidy má stejný poloměr jako kružnice kolem její čtvercové základny. Četné výzkumy Velké pyramidy prokazují záměrný přechod od sedmičky k jedenáctce při přeměně čtverce na kruh. Lidé starověku byli přímo posedlí mírami a číslo jedenáct bylo ústředním prvkem jejich měřicího systému. Na protější straně je demonstrována zvláštní skutečnost: velikost Měsíce ve vztahu k velikosti Země lze vyjádřit poměrem 3:11. To znamená, že kdybychom stáhli Měsíc k Zemi, jak je vidět na obrázku, pak by měl nebeský kruh procházející středem Měsíce stejný obsah jako čtverec opsaný kolem Země. Tomu se říká „kvadratura kruhu“. Jak na tohle staří druidové přišli, to se možná nikdy nedozvíme, ale zjevně měli pravdu, neboť, jak ukazuje tabulka na protější straně, Měsíc i Země se nejlépe měří v mílích.

Jedenáct, sedm, tři – to všechno jsou Lucasova čísla, sestry Fibonacciho čísel, čímž rozumíme nová čísla vznikající jako součet předchozích dvou. Fibonacciho posloupnost začíná 1, 1, 2, 3, 5, 8, zatímco Lucasova 1, 3, 4, 7, 11.

33

Měsíc

a Země

velikost 3:11

průměr Měsíce

= 3 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6

= 3 × 8 × 9 × 10 mil

průměr Země

= 11 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6

= 8 × 9 × 10 × 11 mil

Měsíc

a Země

(velký kruh)

poloměr dohromady

= 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7

= 7 × 8 × 9 × 10 mil

obsah nebeského kruhu = dvakrát

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11

čtverečních mil

Dvanáct je tucet

nebe a země

Dvanáct je první abundantní číslo, je tedy menší než součet jeho vlastních

celočíselných dělitelů (jedničky, dvojky, trojky, čtyřky a šestky). Dvanáct

bodů na kružnici můžeme spojit tak, že vzniknou čtyři trojúhelníky, tři

čtverce a dva šestiúhelníky (naproti uprostřed). Jakožto násobek tří a čtyř je

dvanáctka často spojována se součtem těchto dvou činitelů, se sedmičkou.

Dvanáctka si také vychutnává třetí rozměr – je to jak počet hran krychle, tak osmistěnu. Dvanáctistěn je složen z pravidelnýchpětiúhelníků a jeho duál dvacetistěn má dvanáct vrcholů. Dvanáct ploch se dá dokonale vepsat do koule, a dostaneme tak archimédovské těleso zvané kubooktaedr.

V sedmitónové stupnici vzrůstají tóny podle vzorce tvořeného pěti celými tóny a dvěma půltóny. V moderním ladění je těchto pět celých tónů rozděleno, takže vznikne dvanáct identických půltónů, které tvoří temperovanou dvanáctitónovou stupnici. Posloucháme-li hudbu,setkáváme se s ní každý den.

Je přinejmenším překvapivé, že druhý nejjednodušší pythagorejský trojúhelník (po trojúhelníku se stranamitři-čtyřiět) má strany pět, dvanáct a třináct.

Hlavní hrdina mívá kolem sebe mnohdy dvanáct dalších osob a existuje také mnoho národů se dvanácti kmeny. Ve staré Číně, Egyptě a Řecku bývala města často rozdělována na dvanáct sekcí a v průběhu roku bývá obvykle dvanáct úplňků.

Dnes se má za to, že je hmotný svět tvořen třemi rodinami čtyř elementárních částic, což dohromady dává také dvanáct. 35

Obávaná třináctka a další

do vyšších čísel

V takovéto maličké knížce není bohužel dost prostoru na to, abychom

podrobně pojednali o všech číslech, a tak budeme dále pokračovat jen

tak letem světem. Krátká hesla věnovaná vyšším číslům najdete vPoznámkách k vybraným číslům (strany 364–366).

Třináctka, oblíbenkyně starých Mayů, počet čarodějnic při sabatu, či počet karet jedné barvy v pokerovém balíčku, je také Fibonacciho číslem. Je vyjádřena v pohybech Venuše, jejíchž třináct let odpovídá osmi letům našim. Kdybyste si snad mysleli, že je to číslo nešťastné, uvědomte si, že Kristus byl právě tím třináctým ve společenství svých dvanácti učedníků, a že třináctý tón v chromatické stupnici ukončuje oktávu.

Čtrnáctka, jako dvakrát sedm, i patnáctka, jako třikrát pět, mají také

jedinečné vlastnosti, ale hlavně na nich začíná být patrné, že vyšší číselná

čísla bývají obvykle vnímána ve světle svých celočíselných dělitelů.

Šestnáct je 2 × 2 × 2 × 2, druhá mocnina čtyřky, která je sama o sobě druhou mocninou.

Sedmnáctka si uchovává mnohá tajemství. Japonské haiku i řecký hexametr se skládají ze sedmnácti slabik. Islámští mystikové se právě o sedmnáctce často zmiňují jako o čísle mimořádně krásném.

Osmnáctka, jako dvakrát devět a třikrát šest, a devatenáctka, prvočíslo, mají obě silnou souvislost s Měsícem (strana 42).

Dvacítka, součet prstů na nohou a na rukou, je základním číslem v mnoha kulturách. Počítání pomocí prstů, jak je ukázáno na příkladech na protější straně, bylo značně rozšířené na trzích po celé středověké Evropě. Ve francouzštině je osmdesát pořád quatre-vingt (čtyři dvacítky) a staří Mayové užívali důmyslný dvacítkový systém (glyfy pro čísla 1–19 jsou vyobrazeny dole). 37

Kvadrivium

čtyři svobodná umění

Můžeme získat takový cit pro čísla, abychom v nich viděli i něco jiného

než pouhou kvantitu? Jaké jsou ve skutečnosti vlastnosti čísel? Jednou

z cest, kterými k nim můžeme proniknout, je i sedmero svobodných

umění. Tři z nich, trivium tvořené logikou, rétorikou a gramatikou,

pokrývají dar výřečnosti (včetně schopnosti skládat poezii), zatímcozbývající čtyři, kvadrivium, zkoumají samotná čísla (aritmetika), geometrii

(čísla v prostoru), hudbu (čísla v čase) a kosmologii (čísla v prostoru

a čase).

Samotná aritmetika studuje dělitele, prvočísla, dokonalá čísla a čísla, jako jsou ta, která nacházíme ve Fibonacciho a Lucasovýchposloupnostech, bez ohledu na prostor a čas (strana 367).

Odlišnou a fascinující skupinu představují čísla spojená prostorem. Jak se rozděluje prostor? Na protější straně vidíme některá z omezení, která prostor číslům klade. Existují tři pravidelné mřížky nebolivýplně roviny (nahoře vlevo), pět pravidelných mnohostěnů (nahoře vpravo), osm polopravidelných mřížek (uprostřed vlevo) a třináct polopravidelných mnohostěnů (uprostřed vpravo). Každý z těchto útvarů pomáhá dokreslovat vlastnosti čísel, z nichž vychází.

Čísla v hudbě (naproti dole) začínají svou úžasnou cestu jakožto nejjednodušší možné kmitočtové poměry, 1:1 (unisono), 2:1 (oktáva), 3:2 (kvinta) a 4:3 (kvarta). Frekvence kvinty se liší od frekvence kvarty v poměru 9:8 (celý tón). Hudební čísla tak vyplňují prostor vymezený jednotlivými zlomky.

Tato číselná fakta o prostoru a čase jsou obecně platná. V nejbližšíinteligentní galaxii možná nehrají tytéž melodie, ale určitě budou souhlasit s tím, že kvinty a oktávy jsou libozvučné, a budou patrně stejně jako my rozeznávat pět jednoduchých pravidelných mnohostěnů. 39

Gnómony

způsoby růstu

Už Aristoteles si povšiml, že když některé věci rostou, nemění se

u nich nic jiného než jejich velikost. Popsal tak princip, kterýŘekové označovali jako „gnómický růst“. Jako gnómon, což byl původně

tesařský nástroj, označujeme útvar, který připočten k útvaru jinému,

vytvoří výsledek proporčně podobný útvaru původnímu. Uvažování

o gnómonech vede k pochopení jednoho z nejběžnějších principů vpřírodě – růstu zvětšováním. Nejtrvalejší tělesné tkáně, jako jsou kosti,

zuby, rohy a krunýře, rostou všechny tímto způsobem.

Obyvatelé starověkého světa byli obecně okouzleni vzorci aposloupnostmi, jež vznikají prostřednictvím celočíselných poměrů. Příkladem může být Platónova lambdoma, která produkuje celou škálu hudebních poměrů, anebo proporcionální obdélníky užívané Řeky při projektování (kdy každý následný obdélník je založen na úhlopříčce tohopředchozího). Fibonacciho posloupnost je novějším objevem, ale i ona vychází z principu gnómického růstu.

Níže otištěná kresba zobrazuje řez vnitřkem aztéckého chrámu vTenayuce. Tento řez odhaluje pět gnómických přestaveb, podnikaných každých dvaapadesát let, když se aztécký kalendář, zděděný po Mayích, znovu vracel k nule a všechny budovy se obnovovaly a přestavovaly.

41

výhonky lístky

TRojúhELníKoVá čísla

Posloupnost 1, 3, 6, 10 zde narůstá tak,

aby čísla (představovaná příslušným

počtem teček) vždy vyplnila trojúhelník.

oBDéLníKoVá čísla

Posloupnost 2, 6, 12, 20 zde

narůstá po způsobu hudebním.

ČTVERcoVá a KRYchLoVá čísla

Pro čtvercové stěny

potřebujeme 1, 4, 9, 16 teček,

pro krychle 1, 8, 27, 64.

LAMBDoMA

Silnější čára vyjadřuje oktávu (2:1),

zatímco na protější straně ve směru

dolů se čísla ztrojnásobují. Můžeme

zde vidět také kvintu (3:2), kvartu

(4:3) a celý tón (9:8).

PRoPoRcionáLní oBDéLníKY

Začínáme se čtvercem o straně 1 a kaž dý

následný obdélník je vystavěn naúhlo

příčce předchozího, čímž zároveň vznikají

čtverce o obsahu 2, 3, 4 a 5.

ZLATá SPiRáLA

Začneme se čtvercem a postupně

vytváříme další čtverce, aby tak vznikla

spirála čtverců, která narůstá a narůstá

podle magické Fibonacciho posloupnosti

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

ČíSLA RŮSTU

Fibonacciho posloupnost se objevuje umno

ha živých věcí. Zde ji vidíme na počtu lístků

a výhonků obyčejné luční kopretiny.

oBSAh

čas a prostor

kosmologie a zjevená čísla

Když se rozhlédneme kolem sebe, všude tušíme čísla, která se projevují

na Zemi, na naší obloze i ve vědě.

Do slunečního roku se například vejde dvanáct tzv. synodických lunárních měsíců neboli lunací (doba od jednoho úplňku k druhému), jenomže poslední skončí jedenáct dní před jeho koncem. To znamená, že rok založený na dvanácti lunárních měsících (rok lunární) sepodobně jako islámský kalendář pomalu posouvá vůči slunečnímu roku a znovu se s ním sejde za 33 let, což je třikrát jedenáct.

Další čísla, která svádí dohromady Slunce a Měsíc, jsou osmnáct a devatenáct. Zatmění se opakují po 18 letech, data úplňku po 19 letech. Ve Stonehenge je tento fakt vyjádřen 19 kameny ve vnitřní podkově. Dva lunární měsíce trvají celkem 59 dní (na jeden připadá 29,5 dne), což ve Stonehenge znázorňuje vnější kruh ze 30 kamenů.

Venuše vykrouží svůj pětičetný vzor okolo Země za osm let. Její dráhu můžeme vyjádřit úžasným schématem (naproti uprostřed). Za těchto osm let nastane celkem 99 úplňků, což je devětkrát jedenáct. Číslo 99 je zároveň i počtem jmen boha v islámu. Jupiter vytváří okolo Země vzor jedenáctičetný (naproti nahoře).

Čísla spjatá s mnoha dlouhými cykly, jako je například „velký“ neboli „platónský“ rok (tzv. precesní cyklus – perioda rotace zemské osy), jsou rovněž bohatá na tajemné vlastnosti. Každý „velký“ neboli „platónský“ měsíc, jako například věk Ryb či Vodnáře, trvá 2 160 let, což jezároveň průměr Měsíce v mílích. Dvanáct velkých měsíců dává starověkou

západní hodnotu 25 920 let pro celý precesní cyklus.

Staří Mayové byli skvělí pozorovatelé hvězd a soustředili se na čísla 8, 13 a 20. Spočítali, že precesní cyklus trvá 26 000 let a že 81 (neboli 3 × 3 × 3 × 3) úplňků nastane každých 2 392 (neboli 8 × 13 × 23) dní,

což je nebývale přesný postřeh.


43


44

Babylon, sumer a Egypt

nejstarší číselné soustavy

Sumerové vytvořili kolem roku 3000 př. n. l. nejstarší nám známé písmo

a s ním i šedesátkovou číselnou soustavu (strana 55). Toto obzvláště

užitečné číslo 60 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 5 a 6.

Pracujeme-li s šedesátkovou soustavou, zápisy čísel jsou zcela odlišné od naší soustavy desítkové. Na protější straně vlevo nahoře vidímesumerskou hliněnou tabulku, do níž se jednoduchým rákosovým rydlem otiskovaly klínopisné znaky. Tato tabulka znázorňuje násobky 36. Něco z dědictví Sumerů nám přetrvalo až do dnešních dní. Pomocí šedesátkové soustavy například měříme cykly a kruhy – minuta má 60 sekund, hodina 60 minut, kruh má 6 × 60 = 360 úhlových stupňů.

Starověké egyptské číslice byly tvořeny znaky pro 1, 10, 100 a tak dále. Příkladem egyptské aritmetiky je metoda násobení, která používá opakovaného násobení dvěma, následovaného selektivním přičítáním, aby se tak dospělo k patřičnému výsledku.

Starověký pohled na čísla je pohledem hudebním a každé číslo se zde převrací v zrcadle jednoty – ze dvou se stává polovina, ze tří třetina a tak dále. U šedesátkové soustavy je tato inverze výjimečně krásná, protože všechny násobky dvou, tří, čtyř, pěti a šesti se stávají jednoduchými zlomky. Z patnáctky se například stane čtvrtina. Babyloňané tutosoustavu zdědili a používali ji k vzývání svých bohů.

Egyptské zlomky pracovaly s hieroglyfem pro ústa (dole), zatímco zlomky objemu užívaly Oko Horovo.

45

43

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

Tabulka s násobky 36 Egyptské násobení

Čísla bohů

Oko Horovo – objemové zlomky

Anu (nebe)

Enil (Země)

Ea (voda)

Sin (Měsíc)

Šamaš (Slunce)

Ištar (láska)

Nergal (válka)

Marduk (plodnost)

43

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

Tabulka s násobky 36 Egyptské násobení

Čísla bohů

Oko Horovo – objemové zlomky

Anu (nebe)

Enil (Země)

Ea (voda)

Sin (Měsíc)

Šamaš (Slunce)

Ištar (láska)

Nergal (válka)

Marduk (plodnost)

43

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

krát

Tabulka s násobky 36 Egyptské násobení

Čísla bohů

Oko Horovo – objemové zlomky

Anu (nebe)

Enil (Země)

Ea (voda)

Sin (Měsíc)

Šamaš (Slunce)

Ištar (láska)

Nergal (válka)

Marduk (plodnost)

starověká Asie

počítání po desítkách

V Číně se desítková soustava se základními 13 znaky užívá více než

3 000 let (strana 356). Dalším půvabným systémem psaní čísel je

hůlkový systém suan zí nebo sangi, které doplňuje malá nula,používaná v určité formě v Číně, Japonsku a Koreji minimálně od roku

200 př. n. l. (dole). Později nahradilo původní počítací desku pracující

s hůlkami slavné čínské kuličkové počitadlo. Rychlost, s jakou ho

dokáží počtáři na Dálném východě používat, je legendární, a tento

typ počitadla se hojně užívá i dnes.

Indie má také starou numerickou tradici. Čísla jsou výraznýmprvkem mnohých indických posvátných textů. Indická kosmologie užívá ohromných čísel, kterým dnes mohou konkurovat jedině čísla, s nimiž pracuje moderní fyzika. Indické číslovky mají svůj původ v číslovkách písma bráhmí, které používalo čtyřicet pět znaků pro čísla od 1 do 90 000. Za nějaký čas si potřeby indických matematiků vynutily nový systém, který kombinoval názvy pro prvních devět číslic s mocninami deseti. Tak vznikly rychlé a elegantní početní postupy a způsob, jenžumožňoval zapisovat bez omezení i opravdu velká čísla. Objevila se také nula, vyjadřující bez jakýchkoli zmatků nezastoupenou mocninu deseti.

Právě z Indie se k nám prostřednictvím Arabů dostala naše moderní desítková číselná soustava.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

161,803,399 39,916,800

10 20 30 40 50 60 70 80 90

161 803 399 39 916 800


47

45

řecká počítací destička z ostrova Salamis římský kalkulus římský ruční abakus

středověká počítací deska středověká řádková počítací deska

čínskýsuanan japonský soroban ruský sčot

číslo 9 360 na různých počitadlech

arabské užití indických číslic – 216 krát 504 rovná se 108 864


48

Gematria

mluvící čísla a tajné šifry

Féničané používali velmi elegantní dvaadvacetipísmennou souhláskovou

abecedu, aby tak zakódovali zvuky svého jazyka. Za nějaký čas toto

písmo převzala většina středomořských národů a prostřednictvím jeho

latinské varianty se z něj stala abeceda, jakou užíváme dnes.

Gematria užívá písmen jako číselných symbolů, takže se jazyk stává matematikou. Důležitá kanonická, geometrická, hudební, metrologická a kosmologická čísla jsou ve starověkých textech definovánaprostřednictvím mnoha klíčových pojmů. Gematria, která se poprvé ve větší míře objevuje ve starověkém Řecku, byla následně přejata jak hebrejštinou, tak arabštinou, kde je známa jako abdžad. Ve všech třech jazycích také

existuje zjednodušený systém, který používá týchž hodnot bez nul.

Níže uvedený příklad ukazuje dvě související fráze spojené identickou sumou. Umožňuje nám vytvořit si představu o magické a simultánní rezonanci mezi slovy a čísly, kterou každý gramotný a počty ovládající čtenář v minulosti vnímal. Po více než 1 000 let totiž gematria nebyla jen okultní zvláštností, ale standardním způsobem zpodobňování čísel.

Tuto tajnou vědu dodnes praktikují mystikové a čarodějové, kteří užívají souvislostí mezi slovy, frázemi a čísly kvůli jejich mystickému významu a schopnosti působit jako talismany.

Duch svatý Studnice moudrosti


49 47

alef

beth

gimel

daleth

he

waw

zajin

heth

teth

jód

káf

lámed

mem

nún

sámech

ajin

pe

sade

gof

reš

šín

tau

alfa

beta

gamma

delta

epsilon

digamma

zéta

éta

théta

ióta

kappa

lambda

ksí

omikron

koppa

sigma

tau

ypsilon

chí

psí

omega

san

alef

bet

gimel

dalet

he

vav

zajin

chet

tet

jod

kaf

lamed

mem

nun

samech

ajin

cade

kuf

reš

šin

tav

kof

mem

nun

cade

alif

džim

dál

há (hrdelní)

waw

žá

kaf

lam

mím

nún

sín/sád

ajn

fa

sád/dád

qáf

šín/sín

thá

khá

dhál

dád/dhá

dhá/ghajn

ghajn/šín

Řecká soustava obsahuje nepoužívaná písmena digamma a koppa v jejich původním umístění

a znovu vkládá nepoužívané san na konec. Hebrejský systém obdobně pracuje s pěti speciálními

písmennými formami užívanými na konci slov, aby se tak dospělo k číslu 900. V arabštině sepís

mena pro 60, 90, 300, 800, 900 a 1 000 liší na západě a východě islámského světa.

archaická

abeceda

řecká

abeceda

hebreJská

abeceda

arabská

abeceda

hodnota


50

Magické čtverce

když se vše sčítá

Velmi zvláštní a okouzlující způsob, jak lze uspořádat čísla, nacházíme

také v magických čtvercích, o nichž byly napsány dokonce celé knihy.

Tzv. magický součet v každém čtverci je stejný, ať už je sečtena jakákoli

linie.

Sedm magických čtverců je tradičně spojováno s planetami (naproti). Čtverec o rozměrech třikrát tři je Saturnův. Čtverce se při sestupu planetární sférou zvětšují vždy o jeden řád, aby se tak nakonec dospělo k měsíčnímu čtverci o rozměru 9 × 9. Zároveň v těchto čtvercích dochází k elegantnímu střídání lichých a sudých čísel (sudá čísla jsou vystínovaná). Každá planeta má navíc magickou pečeť, jež je založena na struktuře jejího čtverce a slouží jako magický kód.

Magický čtverec je příkladem permutace, čímž rozumímeuspořádávání věcí do sad určitým způsobem. Existuje například osmzpůsobů, jak dosáhnout součtu patnáct pomocí tří čísel od jedné do devíti, a všech osm způsobů je přítomno v magickém čtverci o rozměru 3 × 3.

Detailnější pohled si zaslouží i další možné součty v magickýchčtvercích. Mayové by určitě měli radost z toho, že čtverec o rozměrech 8 × 8 má magický součet 13 × 20, zatímco sluneční magický čtverec, kde jedna linie má v součtu 111, dává dohromady zlověstný celkový součet 666.

Použijeme-li jako další magický klíč gematrii, slova a magické čtverce se začnou přirozeně proplétat v tajemném světě kouzel a dalších umění spjatých s talismany (příklad dole).

celkový součet ve čtverci

(Eva) magický součet


51

49

magický součet 15

celkový součet ve čtverci 45

magický součet 369

celkový součet ve čtverci 3 321

magický součet 65

celkový součet ve čtverci 325

magický součet 260

celkový součet ve čtverci 2 080

magický součet 34

celkový součet ve čtverci 136

magický součet 111

celkový součet ve čtverci 666

magický součet 175

celkový součet ve čtverci 1 225


52

Mýty, hry a rýmy

čísla, s nimiž vyrůstáme

Některé z našich nejranějších zkušeností s čísly získáváme pomocí her,

říkanek, příběhů a kulturních mýtů. Mnohé jsou doslova pokladnicemi

skrytých číselných vztahů.

Starodávné formy jazyka byly často založeny na číslech, a tak i v poe zii nalézáme trojverší, čtyřverší, pentametry (verše s pěti přízvučnýmislabikami), hexametry (verše se šesti přízvučnými slabikami) a haiku (tříveršová báseň se sedmnácti slabikami, přičemž první verš má slabik pět, druhý sedm a třetí zase pět – srovnejte se stupnicí na straně 196).

Hry mohou také uchovávat informace, podobně jako mýty a příběhy. Součet whistových karet v balíčku, pokud budeme spodka,královnu a krále počítat jako 11, 12 a 13 a eso jako 1, činí 364. A když přidáme žolíka, dostaneme 365, což je počet dní v roce. Osmnáctky a devatenáctky v čínské hře go jsou ozvěnou cyklů Slunce a Měsíce (strana 42). Tyto starověké hry odrážejí věčné principy a připomínají nám daleko větší kosmické hry, v jejichž centru se rovněž nacházejí čísla.

Skoro všechny hry jsou závislé na číslech, a to co do struktury, ipravidel. Představte si třeba tenisty, kteří by chtěli hrát zápas, a neuměli počítat víc než do tří!

Níže naleznete dva příklady pohybu koně po šachovnici, které v obou případech vytvoří magické čtverce, jsou-li pole postupně očíslována.

53

51

DOMEČEK

NEBE

PEKLO

ZEMĚ

go čínská dáma mlýn

pachisi dáma a šachy

mankala

senet

královská hra z Uru vrhcáby skákací panák

Moderní čísla

úsvit kvantity

Když staří Řekové zjistili, že úhlopříčky čtverců nelze vyjádřitracionálními čísly, vyvolalo to prý v jejich řadách zděšení. Podobnouhrůzu ostatně dnes mnozí lidé pociťují, když se setkají se symbolem pro

odmocninu.

Posledních 400 let proměnilo naše pojetí čísel. Po revolučním přijetí arabských číslovek a s nimi i úžasné nuly bylo dalším kouzlem zavedení záporných čísel, čímž vznikla číselná řada, která mizí do dáli ve dvou směrech.

Záporná čísla nám dnes přijdou dostatečně jednoduchá, ale jsouzároveň i složitým hlavolamem. Umocněte záporné číslo a stane sekladným. Co je tedy odmocninou záporného čísla? Matematici ji museli vynalézt! Uvědomili si, že existuje další číselná řada – řadaodmocnin záporných čísel, kterou nazvali čísly imaginárními, vyjadřovanými dnes pomocí i (i je odmocninou čísla minus jedna). Hra imaginárních

a reálných čísel vytváří bez velkého úsilí fraktály – rekurzivní (v sobě

se opakující) útvary, jež nacházíme v přírodě kolem sebe.

Pomocí desítkové soustavy, kterou užíváme dnes, umíme s velkou přesností vyjádřit čísla jako π, což je poměr mezi obvodem kruhu a jeho průměrem. Některé z okouzlujících předmětů modernímatematiky však využívají opakovaných zlomků, jež byly patrně známé už lidem starověku. Tyto zlomky dobře vystihují složitost odmocnin, zlatý řez (φ), π a exponenciální funkci e. 55

Nula

není co dodat

Nulu jsme si nechali na konec, protože ve své podstatě není číslem,

ale jen značkou, která vyjadřuje nepřítomnost čísla. Možná z tohoto

důvodu, a k hrůze četných teologů, trvalo nicotě dost dlouho, než se

objevila alespoň v nějaké podobě. A v nezanedbatelném počtu kultur

se dokonce neobjevila vůbec.

Symbol pro nulu vynalezli lidé nezávisle na sobě minimálně třikrát. Babyloňané začali kolem roku 400 př. n. l. používat dva klíny obtištěné do hlíny jako symbol „prázdného místa“ v jejich šedesátkové soustavě, tedy jako symbol, který znamenal „v tomto sloupci není žádné číslo“. Na druhé straně světa, téměř o tisíc let později, začali Mayové k témuž účelu užívat symbolu pro mušli.

Kruhová forma pro „nic“, přijatá za dob starých Indů, napodobovala otisk v písku, jejž po sobě zanechá odstraněný oblázek. Naše moderní nula, zděděná po Indech, se tedy zrodila jako viditelná stopa něčeho, co už není.

Podobně jako jednička zkoumá i nula hranici mezi neexistencí aexistencí. V nejstarších indických matematických pojednáních je označována jako sunya, což znamená „prázdnota“, a upozorňuje nás na propast, ono definitivní nepoznatelno, těhotnou půdu všeho bytí.

Je tedy možná na místě, že nula má podobu kruhu, což je sám o sobě symbol pro jedno, a že naše jednička má naopak podobu krátkéspojnice mezi dvěma body. Jak je nám známo z gematrie, každé číslo v sobě obsahuje zárodek svého následovníka. Symboly nula a jedna dohromady vytvářejí zlatý symbol φ, což je vlastně velmi příhodná myšlenka na závěr této knihy.



       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz - online prodej | ABZ Knihy, a.s.
ABZ knihy, a.s.
 
 
 

Knihy.ABZ.cz - knihkupectví online -  © 2004-2018 - ABZ ABZ knihy, a.s. TOPlist