načítání...
menu
nákupní košík
Košík

je prázdný
a
b

E-kniha: Finanční matematika v praxi -- 2., aktualizované a rozšířené vydání – Oldřich Šoba; Martin Širůček

Finanční matematika v praxi -- 2., aktualizované a rozšířené vydání

Elektronická kniha: Finanční matematika v praxi
Autor: Oldřich Šoba; Martin Širůček
Podnázev: 2., aktualizované a rozšířené vydání

Knížka je psána formou dialogu odborného interního lektora s profesionálním lektorem, kteří společně hledají možnosti efektivní výuky a přibližují jednoduché zásady, ověřené ... (celý popis)
Titul je skladem - ke stažení ihned
Médium: e-kniha
Vaše cena s DPH:  314
+
-
10,5
bo za nákup

ukázka z knihy ukázka

Titul je dostupný ve formě:
elektronická forma tištěná forma

hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%hodnoceni - 0%   celkové hodnocení
0 hodnocení + 0 recenzí

Specifikace
Nakladatelství: » Grada
Dostupné formáty
ke stažení:
EPUB, MOBI, PDF
Zabezpečení proti tisku a kopírování: ano
Médium: e-book
Rok vydání: 2017
Počet stran: 143
Rozměr: 21 cm
Úprava: ilustrace
Vydání: První vydání
Skupina třídění: Odborné vzdělávání
Jazyk: česky
ADOBE DRM: bez
ISBN: 978-80-271-0250-1
Ukázka: » zobrazit ukázku
Popis / resumé

Knížka je psána formou dialogu odborného interního lektora s profesionálním lektorem, kteří společně hledají možnosti efektivní výuky a přibližují jednoduché zásady, ověřené didaktické postupy a lektorské techniky. Vše doprovází šablony, vzory a příklady dobré praxe. Příručka určená interním lektorům, kteří ve firmách a dalších institucích školí své spolupracovníky a prohlubují jejich odborné znalosti.

Popis nakladatele

Kniha se komplexně a prakticky věnuje všem klíčovým oblastem finanční matematiky, používaným při řízení osobních financí a v podnikové sféře. Nejvýraznější změny nového vydání se týkají investic na dluhopisovém trhu, akciovém trhu a operací na měnovém trhu. (pro efektivní vzdělávání ve firmách a jiných organizacích)

Předmětná hesla
Zařazeno v kategoriích
Oldřich Šoba; Martin Širůček - další tituly autora:
Finanční matematika v praxi Finanční matematika v praxi
Finanční matematika v praxi -- 2., aktualizované a rozšířené vydání Finanční matematika v praxi
 
K elektronické knize "Finanční matematika v praxi -- 2., aktualizované a rozšířené vydání" doporučujeme také:
 (e-book)
Finanční management Finanční management
 (e-book)
Finanční analýza -- Komplexní průvodce s příklady - 3., kompletně aktualizované vydání Finanční analýza -- Komplexní průvodce s příklady
 (e-book)
Finanční trhy -- Učebnice s programem na generování cvičných testů Finanční trhy
 
Recenze a komentáře k titulu
Zatím žádné recenze.


Ukázka / obsah
Přepis ukázky

FINAN

Č

NÍ MATEMATIKA V PRAXI

Old

ř

ichŠoba

Martin Šir

ůč

ek

druhé

vydání

Oldř ich Šoba • Martin Širůček

2., aktualizované

a rozšířené vydání

v praxi

Finanční

matematika

www.partners.cz/cs/kariera 800 63 63 63

Když chcete něco víc než jen zaměstnání,

POJĎTE PODNIKAT.

Chcete-li na třídním srazu zazářit,

PŘIDEJTE SE K PARTNERS.

Pokud si chcete splnit své sny,

JSME TU PRO VÁS.

PŘIDEJTE SE K NÁM!


Ing. Oldřich Šoba, Ph.D.,

Ing. Martin Širůček

Finanční matematika

v praxi


Oldř ich Šoba • Martin Širůček

2., aktualizované

a rozšířené vydání

Grada Publishing, a.s.

v praxi

Finanční

matematika


Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy

Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reproduko

vána ani šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu

nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno. Tato publikace vznikla v průběhu řešení projektu operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/2.2.00/15.0060 Studijní opory pro studenty bakalářského stupně studia. Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Ing. Martin Širůček, Ph.D. Finanční matematika v praxi 2., aktualizované a rozšířené vydání Kniha je monografie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 6465. publikaci Odborně recenzoval: prof. Ing. Oldřich Rejnuš, CSc. Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s. Odpovědný redaktor Václav Ječmínek, Zuzana Böhmová Sazba Antonín Plicka Počet stran 336 Druhé vydání, Praha 2017 Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s. © Grada Publishing, a.s., 2017 Cover Photo © Depositphotos/kaprikM ISBN 978-80-271-9264-9 ePub ISBN 978-80-271-9263-2 pdf ISBN 978-80-271-0250-1 print Obsah O autorech .............................................................................................................................. 8

Úvod ........................................................................................................................................ 9

1 Úvod do finanční matematiky ........................................................................................ 11

1.1 Časová hodnota peněz ............................................................................................ 11

1.2 Úrok a úroková sazba ............................................................................................. 13

1.3 Čas ve finanční matematice .................................................................................... 14

1.4 Úroková sazba versus zdanění a inflace ................................................................. 16

1.5 Úrokové období ...................................................................................................... 21

1.6 Výpočet úroku ........................................................................................................ 21

1.7 Typy úročení ........................................................................................................... 22

1.8 Procento versus procentní bod ............................................................................... 27

2 Jednoduché úročení a jeho využití ............................................................................... 29

2.1 Jednoduché úročení polhůtní .................................................................................. 29

2.2 Jednoduché úročení předlhůtní .............................................................................. 33

2.3 Srovnání polhůtního a předlhůtního úročení .......................................................... 36

2.4 Úročení běžných účtů ............................................................................................. 38

2.5 Skonto .................................................................................................................... 42

2.6 Další řešené příklady .............................................................................................. 45

2.7 Příklady k procvičení ............................................................................................. 47

3 Složené úročení a jeho využití ....................................................................................... 49

3.1 Základní rovnice složeného úročení ....................................................................... 49

3.2 Efektivní úroková míra .......................................................................................... 56

3.3 Spojité úročení ....................................................................................................... 61

3.4 Smíšené úročení ..................................................................................................... 62

3.5 Další řešené příklady .............................................................................................. 64

3.6 Příklady k procvičení ............................................................................................. 67

4 Spoření a pravidelné investice ...................................................................................... 69

4.1 Budoucí hodnota anuity ......................................................................................... 70

4.2 Výpočet budoucí hodnoty anuity ........................................................................... 73

4.3 Výpočet výše pravidelné úložky ............................................................................ 75 4.4 Výpočet doby spoření ............................................................................................ 77

4.5 Výpočet úrokové sazby .......................................................................................... 79

4.6 Kombinace spoření a jednorázových částek .......................................................... 81

4.7 Změna podmínek v průběhu spoření ...................................................................... 84

4.8 Další řešené příklady .............................................................................................. 87

4.9 Příklady k procvičení ............................................................................................. 90

5 Důchody a renty ............................................................................................................. 93

5.1 Současná hodnota anuity ........................................................................................ 93

5.2 Výpočet současné hodnoty anuity .......................................................................... 98

5.3 Výpočet výše vypláceného důchodu .................................................................... 101

5.4 Odložený důchod ................................................................................................. 104

5.5 Výpočet doby výplaty důchodu ........................................................................... 107

5.6 Kombinace důchodu a jednorázových částek ....................................................... 111

5.7 Příklady k procvičení ........................................................................................... 114

6 Kombinace spoření a důchodu .................................................................................... 115

6.1 Základní typ kombinace ....................................................................................... 116

6.2 Další typy kombinace ........................................................................................... 121

6.3 Příklady k procvičení ........................................................................................... 127

7 Úvěry a půjčky ............................................................................................................. 129

7.1 Splácení stejnými splátkami ................................................................................. 132

7.2 Splácení nestejnými splátkami ............................................................................. 143

7.3 Další řešené příklady ............................................................................................ 144

7.4 Roční procentní sazba nákladů ............................................................................. 147

7.5 Příklady k procvičení ........................................................................................... 158

8 Investiční rozhodování ................................................................................................. 159

8.1 Investiční trojúhelník ........................................................................................... 162

8.2 Výnosnost investice ............................................................................................. 166

8.3 Rizikovost investice ............................................................................................. 176

8.4 Anualizace výnosnosti a rizikovosti ..................................................................... 181

8.5 Příklady k procvičení ........................................................................................... 185

9 Směnky a jiné krátkodobé cenné papíry ................................................................... 187

9.1 Eskont směnky a eskontní úvěr ............................................................................ 192

9.2 Střední doba splatnosti ......................................................................................... 196

9.3 Směnka jako investiční příležitost ....................................................................... 198

9.4 Ostatní krátkodobé cenné papíry .......................................................................... 199

9.5 Příklady k procvičení ........................................................................................... 204 10 Investice na dluhopisovém trhu I: cena a výnosnost .............................................. 207

10.1 Rozdělení obligací .............................................................................................. 207

10.2 Cena obligace ..................................................................................................... 213

10.3 Výnosnost obligace ............................................................................................ 220

10.4 Cena kuponové obligace mezi kuponovými platbami ....................................... 228

10.5 Příklady k procvičení ......................................................................................... 235

11 Investice na dluhopisovém trhu II: výnosové křivky, rating a durace .................. 239

11.1 Výnosové křivky ................................................................................................ 239

11.2 Rating a durace obligace .................................................................................... 249

11.3 Příklady k procvičení ......................................................................................... 262

12 Investice na akciovém trhu ....................................................................................... 265

12.1 Rozdělení akcií ................................................................................................... 267

12.2 Cena akcie .......................................................................................................... 271

12.3 Výnosnost akcií .................................................................................................. 280

12.4 Štěpení akcií ....................................................................................................... 284

12.5 Další příklady k procvičení ................................................................................ 287

13 Operace na měnovém trhu ........................................................................................ 289

13.1 Spotové operace na měnovém trhu .................................................................... 295

13.2 Termínové operace na měnovém trhu ................................................................ 301

13.3 Příklady k procvičení ......................................................................................... 309

Příloha 1: Zohlednění inflace ve výpočtech ..................................................................... 313

Příloha 2: Použité vzorce ................................................................................................... 325

Použitá literatura ............................................................................................................... 329

Shrnutí ................................................................................................................................ 330

Summary ............................................................................................................................. 330


8 / Finanční matematika v praxi

O autorech

Ing. Oldřich Šoba, Ph.D.

Absolvoval doktorské studium v oboru Finance na Provozně ekonomické

fakultě Mendelovy univerzity v Brně. Zde působil na Ústavu financí, kde

vyučoval oblast finančních a kapitálových trhů a finanční matematiky.

Rovněž spolupracoval s finančními institucemi na vzdělávacích projektech

v oblasti financí a finančního poradenství. V minulosti také pracoval jako

redaktor a ekonomický analytik v dotačním poradenství. V současné době

působí v soukromé sféře v oblasti private equity investic.

Ing. Martin Širůček, Ph.D.

Působí na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně,

kde v roce 2013 absolvoval doktorské studium financí. Podílí se na výuce

předmětů Finanční trhy, Kapitálové trhy, Investiční záměry a inovační

management či Osobní a rodinné finance. Jeho odborná orientace směřuje

do oblasti akciových a dluhopisových trhů, zejména analýzy vzniku ceno

vých bublin a faktorů, které je způsobují. Dále se zajímá o problematiku

kolektivního investování a využití strukturovaných produktů. Působí jako

zkušební komisař a odborný garant zkoušek odborné způsobilosti EFPA

Česká republika.


Úvod / 9

Úvod Matematiku neměla řada lidí ráda už na základní nebo střední škole, což je škoda. Matematika, její principy a pravidla nás totiž obklopují i v každodenním životě, jen si to neuvědomujeme. Příčinou může být i to, že při její výuce si lidé pod probíranými pojmy, vzorečky apod. nedokázali nic představit. Například aritmetická a geometrická posloupnost se vysvětlovaly a prověřovaly na nic neříkajících číslech a bylo nutno znát všechny vzorce zpaměti. Mnozí lidé tak aritmetickou a geometrickou posloupnost nyní považují za neurčité pojmy v matematice nebo je ze své paměti dokonce již vytěsnili úplně.

Místo toho mohly být tyto pojmy vysvětlovány na praktických věcech, se kterými se člověk

setkává v každodenním životě. Právě princip aritmetické a geometrické posloupnosti je totiž aplikován ve finanční sféře při jednoduchém a složeném úročení, které je součástí prakticky jakéhokoliv finančního produktu. Může se jednat o běžné účty, spořicí účty, úvěry, pravidelné investice do podílových fondů, stavební spoření nebo spoření na penzi či složitější operace, jako jsou investice do cenných papírů, například dluhopisy, akcie a další.

Pokud by tyto pojmy byly vysvětlovány na příkladech z peněžní oblasti, která je součástí

života každého z nás, asi by z paměti nevymizely. Finanční gramotnost českého obyvatelstva by možná byla lepší než v současnosti. I když finanční matematika obsahuje ono často nenáviděné slovo „matematika“, je jejím obsahem zejména uvedená aritmetická a geometrická posloupnost neboli jednoduché a složené úročení, z nichž potom vycházejí další vzorce a výpočty. Výhodou je, že na finanční matematice není vůbec nic složitého, pokud je ovšem jednoduše a zejména prakticky vysvětlována. Stává se z ní pak zajímavá hra s čísly, kterou využijeme v běžném životě, a někdo jí dokonce i propadne.

Tato publikace si neklade za cíl rozvíjet finanční matematiku jako vědu, ale jednoduše a hlavně prakticky ji vysvětlovat, i když se někdy dopustíme dílčího zjednodušení, které ovšem nebude mít na nic podstatného vliv. Například úrokové sazby u jednotlivých příkladů v této knize nemusí odpovídat aktuálním podmínkám na českém trhu, stejně tak např. měnové kurzy, které se v průběhu času mění. Jednak jde pouze o příklady a jednak by při současných velmi nízkých úrokových sazbách, které se reálně blíží nule, mohly být zkresleny výsledky při jejich převodech a následném zaokrouhlování.

Kniha je doplněna o výuková videa, jež se používají na několika vysokých školách. Jednotlivé kapitoly knihy tvoří podkladové materiály k těmto výukovým videím, která jsou dostupná na adrese http://web2.mendelu.cz/pef_118_video/videokurz.php. Tato publikace a videa vám snad umožní, abyste se finanční matematiky přestali obávat a začali ji prakticky využívat ve svůj prospěch. Kniha je rovněž vhodným doplněním praktické aplikace a využití vybraných nástrojů finančních trhů, které popisuje ve svojí publikaci Finanční trhy (Grada Publishing, 2016) profesor Oldřich Rejnuš.

Přejeme Vám pěkné čtení!

Oldřich Šoba, Martin Širůček



Úvod do finanční matematiky / 11

1 Úvod do finanční matematiky

V rámci videokurzu Finanční matematika se této kapitole věnuje díl 1.

Jednotná definice finanční matematiky neexistuje, lze si tak ale obecně představit jakékoliv matematické operace ve finanční sféře. Finanční matematika využívá aparátu, který je součástí středoškolské matematiky, pouze jej aplikuje do finanční oblasti, a proto není třeba se obávat přílišné složitosti. U finanční matematiky je totiž nutno pochopit princip, na kterém je založena a který důsledně uplatňuje, poté je vše nejenom relativně jednoduché, ale i velice zajímavé. Tímto principem je časová hodnota peněz. 1.1 Časová hodnota peněz Časová hodnota peněz je založena na myšlence, že peníze mají v různém okamžiku různou hodnotu neboli že hodnota peněz se v průběhu času mění. Kromě toho, že každý investor preferuje více peněz než méně a méně rizika než více, preferuje také stejné množství peněz dříve než později. Princip časové hodnoty peněz lze demonstrovat na příkladu 1.1.

Příklad 1.1 Časová hodnota peněz

Obecně platí, že stokoruna obdržená dnes má vyšší hodnotu než stokoruna obdržená za rok. Je

tomu z toho důvodu, že pokud současná stokoruna bude uložena a úročena, zúročí se a za rok

budeme mít více než sto korun. Například při 5% roční úrokové sazbě by se za rok zúročila

na 105 Kč, což je více než 100 Kč obdržených za rok.

To znamená, že budoucí hodnota současné stokoruny je za rok 105 Kč. Ale platí to i zpětně,

to znamená, že současná hodnota 105 Kč obdržených za rok je při 5% roční úrokové sazbě

100 Kč. Pokud bychom tedy chtěli mít za rok (budoucí hodnota) na účtu 105 Kč při 5% roční

úrokové sazbě, museli bychom na něj nyní (současná hodnota) uložit 100 Kč.

To znamená, že při 5% roční úrokové sazbě má stejnou hodnotu současných 100 Kč nebo

za rok obdržených 105 Kč. Pokud by ovšem byla aplikována roční úroková sazba 6 %, byla

by budoucí hodnota současných 100 Kč rovna za rok 106 Kč, což by bylo více než 105 Kč

obdržených za rok, a proto by mělo vyšší hodnotu 100 Kč obdržených dnes než 105 Kč ob

držených za rok.

Princip, resp. metoda časové hodnoty peněz je založena na převodu hodnoty peněz k určité

mu časovému okamžiku, a to prostřednictvím úročení stanovenou úrokovou sazbou. Finanční matematika tak převádí hodnotu peněz k určitému časovému okamžiku, a to buď k jejich budoucí, nebo současné hodnotě.

12 / Finanční matematika v praxi

a) Budoucí hodnota (future value – FV)

Pokud chceme vypočítat, jakou částku budeme mít na spořicím účtu, nebo na jakou hodnotu

naroste zvolená investice, počítáme budoucí hodnotu peněz.

b) Současná hodnota (present value – PV)

Pokud ale naopak chceme vypočítat, kolik musíme nyní uložit na účet, abychom získali

v budoucnu určitou částku, nebo jakou hodnotu pro nás má v současnosti určitá investice,

počítáme naopak současnou hodnotu peněz.

Přitom ovšem platí, že pokud chceme určité peněžní částky mezi sebou sčítat, odčítat, porov

návat atd., musí být jejich hodnoty vztaženy vždy ke stejnému časovému okamžiku. Pro porovnání

hodnot peněz u zvolených alternativ není podstatné, ke kterému časovému okamžiku hodnotu

peněz vztáhneme, musí se ale jednat o stejný časový okamžik. Vysvětlíme si to na příkladu 1.2.

Příklad 1.2 Aplikace časové hodnoty peněz

Má vyšší hodnotu 1 000 Kč obdržených dnes nebo 1 100 Kč obdržených za rok při roční

úrokové sazbě 15 %?

Tento příklad má nekonečně mnoho možných způsobů řešení, ovšem závěr, která z daných

alternativ má vyšší hodnotu, bude vždy stejný. Máme tedy dvě alternativy a máme stanovit,

která z nich má vyšší hodnotu:

Alternativa A: 1 000 Kč obdržených dnes, to znamená v období 0.

Alternativa B: 1 100 Kč obdržených za rok, to znamená v období 1.

Pro převod hodnot peněz z obou alternativ ke stejnému okamžiku máme využít roční úrokové

sazby 15 %. Není v tomto případě podstatné, ke kterému okamžiku hodnotu peněz z obou

alternativ převedeme, může se jednat o současnost, období za 1 rok, za 5 let, za 10 let atd.

Hlavně se musí u obou alternativ jednat o stejný časový okamžik. Ukážeme si řešení jednak

při převodu na současný okamžik, jednak při převodu na období za 1 rok.

Převod hodnoty peněz k současnému

okamžiku

Převod hodnoty peněz k období za 1 rok

Alternativa A 1 000 Kč 1 000 ∙ (1 + 0,15) = 1 150 Kč

Alternativa B 1 100 / (1 + 0,15) = 956,52 Kč 1 100 Kč

Závěr Vyšší hodnota peněz je u alternativy A Vyšší hodnota peněz je u alternativy A

U každé z obou alternativ obsahuje tmavě šedá buňka částku vztahující se k jejímu zadání.

To znamená částka 1 000 Kč v současném okamžiku u alternativy A a částka 1 100 Kč v ob

dobí za 1 rok u alternativy B. Není možné jednoduše srovnat částky 1 000 Kč vs. 1 100 Kč,

jelikož každá je vztažena k jinému časovému okamžiku, ale je nutno stanovit hodnotu obou

částek ke stejnému časovému okamžiku. Opět je nutno připomenout, že není v tomto případě

podstatné ke kterému okamžiku, ale musí se jednat o stejný časový okamžik. Je tedy nutno

srovnávat částky vždy ve stejném sloupci (stejný časový okamžik), a nikoliv křížem v rámci

obou sloupců (jiný časový okamžik).

Jak vyplývá z řešení příkladu, závěr je v obou případech naprosto shodný, vyšší hodnotu

představuje alternativa A. To lze vysvětlit tak (např. v rámci převodu hodnoty peněz k období

za 1 rok), že pokud nyní uložíme 1 000 Kč na účet, budeme mít za 1 rok při 15% roční úrokové

sazbě na tomto účtu 1 150 Kč, což je více než 1 100 Kč obdržených za rok.

Úvod do finanční matematiky / 13

Princip, resp. metoda časové hodnoty peněz využívá převodu hodnoty peněz k určitému časo

vému okamžiku. V případě výpočtu budoucí hodnoty se jedná o tzv. úročení, v případě současné hodnoty o odúročení (také tzv. diskontování), a to vše prostřednictvím úrokové sazby. Mezi základní pojmy časové hodnoty peněz a celé finanční matematiky tak patří úrok a úroková sazba. 1.2 Úrok a úroková sazba Úrok je obecně cena peněz, resp. cena za zapůjčení peněz z pohledu dlužníka a odměna za zapůjčení peněz z pohledu věřitele. Výše úroku se udává v peněžních jednotkách a je závislá zejména na úrokové sazbě.

Úroková sazba je úrok vyjádřený v procentech z hodnoty kapitálu. Úroková sazba se vždy

vztahuje k určité délce časového období. O jaké časové období se jedná, udává dodatek (zkratka) u dané úrokové sazby. Převody mezi úrokovými sazbami vztahujícími se k různému časovému období využívají prostého dělení (při převodu z delšího časového období úrokové sazby na kratší), či naopak násobení (při převodu z kratšího časového období úrokové sazby na delší). Přehledně to demonstruje tabulka 1.1. Tabulka 1.1 Úrokové sazby dle souvisejícího časového období

časové období související s úrokovou sazbou dodatek (zkratka)

u úrokové sazby

způsob převodu

rok => roční úroková sazba p. a. 12 % p. a. => 12 % p. a.

pololetí => pololetní úroková sazba p. s. 12 % p. a. => 6 % p. s.

čtvrtletí => čtvrtletní úroková sazba p. q. 12 % p. a. => 3 % p. q.

měsíc => měsíční úroková sazba p. m. 12 % p. a. => 1 % p. m.

den => denní úroková sazba p. d. 12 % p. a. => 12/360 % p. d. nebo

12 % p. a. => 12/365 % p. d.

Upozornění

Jak vyplývá z tabulky 1.1, je nutno rozlišovat, k jak dlouhému časovému období je úro

ková sazba vztažena. Neznalosti této skutečnosti využívají často různé „pochybné společ

nosti“, a to např. při poskytování půjček. V jejich nabídce je často velmi lákavá úroková

sazba např. ve výši 5 %, ovšem velmi malým písmem je dopsáno „p. m.“. To znamená,

že to odpovídá roční úrokové sazbě 60 % p. a., což už samozřejmě tak výhodná nabídka

není. Obdobného principu využívají i některé bankovní domy, a to např. při nabídce

spořicích účtů, kde uvádí jejich vysoký výnos (např. 6 %), ovšem opět malým písmem

doplňují, že se jedná o 2letý, či dokonce 3letý výnos daného spořicího účtu.

Úrokových sazeb existuje v ekonomice vysoký počet a také existuje více druhů úrokových

sazeb, které se v rámci finanční matematiky využívají. Proto je nutno zvolit pro daný případ vždy ten správný druh úrokové sazby. Podrobněji se budeme věnovat různým druhům úrokových sazeb vždy v rámci konkrétní problematiky. Rovněž platí, že každá úroková sazba je udávána v procentech, ovšem do vzorců ve finanční matematice se dosazuje v relativním vyjádření. To znamená, že pokud se rovná úroková sazba např. 3 %, bude dosazeno 0,03 apod. Tento způsob zápisu jsme ostatně již aplikovali jak v příkladu 1.1, tak v příkladu 1.2./ Finanční matematika v praxi

5 % → 0,05

10 % → 0,10

Kromě pojmu úroková sazba existuje ještě pojem úroková míra, který je s pojmem úroková

sazba často zaměňován. Rozdíl mezi pojmy úroková sazba a úroková míra není tolik významný, jako je tomu mezi pojmy úrok a úroková sazba. Rozdíl mezi úrokovou sazbou a úrokovou mírou je spíše v teoretické rovině, kdy úroková sazba představuje něco konkrétního a týká se např. určitého finančního produktu. Naproti tomu úroková míra je veličina, která se počítá, resp. odvozuje z jednotlivých úrokových sazeb. Praktický rozdíl mezi pojmy úroková sazba a úroková míra uvádí text v následujícím rámečku.

Upozornění: Úroková sazba versus úroková míra

Úroková sazba

Jedná se o veličinu, která je přímo určena nějakým subjektem, např. obchodní bankou, centrální

bankou atd. Příkladem může být úroková sazba konkrétního spořicího účtu ve výši 2,00 % p. a.

Úroková míra

Jedná se o veličinu odvozenou (vypočítanou) z různých úrokových sazeb. Příkladem může

být průměrná úroková sazba spořicích účtů v ČR. Poté lze napsat, že úroková míra u spořicích

účtů se v ČR pohybuje ve výši cca 2 % p. a. Obdobným způsobem se z jiných veličin počítají

i jiné míry, např. míra inflace atd.

Jak ovšem bylo uvedeno, zaměňování pojmů úroková sazba a úroková míra je běžné a nelze

to považovat za závažnou chybu. Rozdíl je opravdu pouze v teoretické (terminologické) rovině, jelikož obě veličiny jsou udávány v procentech. Mnohem významnější chybou je zaměňování pojmů úrok a úroková sazba, kdy úrok je v peněžních jednotkách, kdežto úroková sazba se udává v procentech. 1.3 Čas ve finanční matematice Při počítání času je ve finanční matematice využíváno různých standardů, které se od sebe částečně, ale na druhou stranu pouze relativně nepatrně odlišují. Jiné standardy při počítání času se již projevily v posledním řádku tabulky 1.1, kdy se převáděla roční úroková sazba na denní úrokovou sazbu. Ve finanční matematice v rámci kvantifikace času existují následující tři standardy, které budeme stručně charakterizovat: a) Německý standard

Jedná se o velmi jednoduchý a používaný standard, který bude převážně využíván i v rámci

této knihy a označuje se jako 30E/360. Tento standard zjednodušeně říká, že každý měsíc

má 30 dní, a to bez ohledu na jeho skutečný počet dní, a každý rok má 360 dní. To znamená,

že pokud byly peníze na účtu po dobu přesně dvou měsíců, jedná se při vyjádření ve dnech

o 60 dní a nemusí se rozlišovat, zdali dané měsíce měly 30, 31, či dokonce 28 dní. I když se

jedná o únor s 28 dny nebo o březen s 31 dny, každý měsíc má dle tohoto standardu 30 dní

a každý rok 360 dní.


Úvod do finanční matematiky / 15

b) Francouzský standard

Tento standard se označuje jako ACT/360 a počítá se skutečným počtem dní v měsíci

a s 360 dny v roce. V rámci tohoto standardu se tedy již musí rozlišovat, zdali se jedná

o měsíc únor s 28 dny, nebo o měsíc březen s 31 dny.

c) Anglický standard

Poslední standard se označuje jako ACT/365 a počítá se skutečným počtem dní jak v měsíci,

tak v roce. V případě roku počítá s 365 dny, pokud se nejedná o přestupný rok, a s 366 dny

u přestupného roku.

Při aplikaci jednotlivých standardů ve výpočtech je kvůli odlišnému uvažování počtu dní

v měsíci a roce dosahováno odlišných výsledků, ovšem rozdíly ve výsledcích nejsou nikterak

závratné. To lze demonstrovat na příkladu 1.3. Rozdíly jsou v daném případě opravdu malé.

Příklad 1.3 Standardy pro počítání času

Vyjádřeme v rocích celé měsíce únor a březen dle jednotlivých standardů v případech, kdy se

nejedná a kdy se jedná o přestupný rok.

a) nejedná se o přestupný rok

počet dní v únoru: 28

počet dní v březnu: 31

počet dní v roce: 365

standard únor (28 dnů) a březen (31 dnů),

vyjádřeno v rocích

30E/360 60/360

ACT/360 59/360

ACT/365 59/365

b) jedná se o přestupný rok

počet dní v únoru: 29

počet dní v březnu: 31

počet dní v roce: 366

standard únor (29 dnů) a březen (31 dnů),

vyjádřeno v rocích

30E/360 60/360

ACT/360 60/360

ACT/365 60/366

Jak vyplývá z obrázku 1.1, konkrétně z první věty, v případě UniCredit Bank se dle Vše

obecných obchodních podmínek této finanční instituce používá standard anglický (ACT/365),

kdy se uvažuje skutečný počet dní v měsících i v kalendářních rocích.

...

20.2 Při výpočtu úroků z kreditního zůstatku na účtu se vychází ze skutečného počtu dní v kalen

dářním roce a skutečného počtu dní trvání vkladu. Úroková sazba se standardně vztahuje na celou

výši kreditního zůstatku. Kreditní zůstatek účtu lze rozdělit do jednotlivých pásem, pro která může

Banka stanovit samostatnou úrokovou sazbu. Banka používá k výpočtu úroků sazbu vztahující se

k části kreditního zůstatku v daném pásmu, není-li dohodnuto jinak.

...

Obrázek 1.1 Určení standardu ve Všeobecných obchodních podmínkách

Zdroj: UniCredit Bank


16 / Finanční matematika v praxi

1.4 Úroková sazba versus zdanění a inflace

Jak již bylo uvedeno, existují různé druhy úrokových sazeb. Úrokové sazby lze také členit dle

následujících dvou kritérií:

a) zohlednění vlivu zdanění úrokových příjmů,

b) zohlednění vlivu působení inflace.

Na základě prvního z uvedených kritérií (zohlednění vlivu zdanění úrokových příjmů) se

rozlišuje:

• hrubá úroková sazba,

• čistá úroková sazba.

Hrubá úroková sazba nezohledňuje vliv zdanění úrokových příjmů, kdežto čistá úroková

sazba tento vliv zohledňuje. Je to obdobný princip jako rozdíl mezi hrubou a čistou mzdou.

Matematický vztah mezi čistou a hrubou úrokovou sazbou je následující:

(1.1)

kde: r

c

= čistá úroková sazba,

r

h

= hrubá úroková sazba,

r

dp

= sazba daně z příjmů.

V případě České republiky jsou úroky např. u spořicích a termínovaných účtů v bankách

zdaňovány srážkovou daní přímo u zdroje, a to ve výši 15 %. To znamená, že jsou připisovány

úroky po zdanění, tedy čisté úroky.

Upozornění

Ve finanční matematice platí následující důležitá skutečnost. Pokud má být uvažován

při výpočtech vliv zdanění úroků, resp. uvažovány pouze čisté úroky, je nutno do daných

vzorců dosazovat úrokovou sazbu po zdanění, to znamená čistou úrokovou sazbu.

Na základě druhého z výše uvedených kritérií (zohlednění vlivu působení inflace) se rozlišuje:

• nominální úroková sazba,

• reálná úroková sazba.

Nominální úroková sazba tedy nezohledňuje vliv inflace, kdežto reálná úroková sazba tento

vliv zohledňuje. Matematický vztah mezi reálnou a nominální úrokovou sazbou a mírou inflace

je následující:

(1.2)

kde: r

r

= reálná úroková sazba,

r

n

= nominální úroková sazba,

r

i

= míra inflace.




       
Knihkupectví Knihy.ABZ.cz – online prodej | ABZ Knihy, a.s.
ABZ knihy, a.s.
 
 
 

Knihy.ABZ.cz - knihkupectví online -  © 2004-2020 - ABZ ABZ knihy, a.s. TOPlist